152
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
pour abr´ eger R
j f ∗ Ω
i
X/S = H
i j , R
n f ∗ Ω
•
X/S = H
n . La fibre de H
i j (resp. H
n )
en η est libre de type fini (un K-espace vectoriel de dimension finie), et est la
limite inductive des H
i j
|D(s) (resp. H
n
|D(s) ), pour s parcourant A, D(s) d´ esignant
“l’ouvert d’inversibilit´ e” de s, i.e. Spec A s = X − V (s). Par 6.1.2 il en r´ esulte qu’il
existe s tel que H
i j
|D(s) (resp. H
n
|D(s) ) soit libre de type fini. Pour (b), choisissons
un recouvrement fini U de X par des ouverts affines, notons U
′ le recouvrement
ouvert de X
′ d´ eduit de U par changement de base. Comme S est affine et que X
est propre, donc s´ epar´ e, sur S, les intersections finies d’ouverts de U sont affines,
et de mˆ eme les intersections finies d’ouverts de U
′ sont (relativement) affines
18
sur S
′ . Par suite (cf. [H2] III 8.7), Rf ∗ Ω
i
X/S (resp. Rf
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′ ) est repr´ esent´ e par
f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S ) (resp. f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
i
X ′ /S ′ )), o` u l’on d´ esigne ici par ˇ
C(U, •) le complexe
des cochaˆ ınes altern´ e. Par la compatibilit´ e des Ω
i au changement de base, on a un
isomorphisme canonique de complexes
g
∗ f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S )
∼
−→ f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
i
X ′ /S ′ ).
Comme le complexe f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S ) est born´ e et ` a composantes plates, cet isomorphisme r´ ealise l’isomorphisme (6.6.1). De mˆ eme, Rf ∗ Ω
•
X/S (resp. Rf
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′ )) est
repr´ esent´ e par f ∗ ˇ
C(U, Ω
•
X/S ) (resp. f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
•
X ′ /S ′ )) (o` u ˇ
C d´ esigne cette fois le complexe simple associ´ e au bicomplexe de ˇ
Cech), et l’on a un isomorphisme canonique
de complexes
g
∗ f ∗ ˇ
C(U, Ω
•
X/S )
∼
−→ f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
•
X ′ /S ′ ),
qui r´ ealise l’isomorphisme (6.6.2). Les assertions (c) et (d) r´ esultent de (b) et du
lemme suivant, dont nous laissons la v´ erification au lecteur :
Lemme 6.7. Soient A un anneau noeth´ erien et E un complexe de A-modules tel
que H
i (E) soit projectif de type fini pour tout i et nul pour presque tout i. Alors :
(a) E est isomorphe, dans D(A), ` a un complexe born´ e ` a composantes projectives
de type fini ;
(b) si E est born´ e et ` a composantes projectives de type fini, alors, pour toute
A-alg` ebre B, et pour tout i, l’homomorphisme canonique
B ⊗ A H
i (E) −→ H
i (B ⊗ A E)
est un isomorphisme.
Remarques 6.8. (a) Un complexe de A-modules isomorphe, dans D(A), ` a un
complexe born´ e ` a composantes projectives de type fini est dit parfait. Prendre
garde que, si E est parfait, il n’est pas vrai, en g´ en´ eral, que les H
i (E) soient
projectifs de type fini. On peut montrer que, sous les hypoth` eses de 6.6, les
18 Un morphisme de sch´ emas est dit affine si l’image inverse de tout ouvert affine est affine.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
pour abr´ eger R
j f ∗ Ω
i
X/S = H
i j , R
n f ∗ Ω
•
X/S = H
n . La fibre de H
i j (resp. H
n )
en η est libre de type fini (un K-espace vectoriel de dimension finie), et est la
limite inductive des H
i j
|D(s) (resp. H
n
|D(s) ), pour s parcourant A, D(s) d´ esignant
“l’ouvert d’inversibilit´ e” de s, i.e. Spec A s = X − V (s). Par 6.1.2 il en r´ esulte qu’il
existe s tel que H
i j
|D(s) (resp. H
n
|D(s) ) soit libre de type fini. Pour (b), choisissons
un recouvrement fini U de X par des ouverts affines, notons U
′ le recouvrement
ouvert de X
′ d´ eduit de U par changement de base. Comme S est affine et que X
est propre, donc s´ epar´ e, sur S, les intersections finies d’ouverts de U sont affines,
et de mˆ eme les intersections finies d’ouverts de U
′ sont (relativement) affines
18
sur S
′ . Par suite (cf. [H2] III 8.7), Rf ∗ Ω
i
X/S (resp. Rf
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′ ) est repr´ esent´ e par
f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S ) (resp. f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
i
X ′ /S ′ )), o` u l’on d´ esigne ici par ˇ
C(U, •) le complexe
des cochaˆ ınes altern´ e. Par la compatibilit´ e des Ω
i au changement de base, on a un
isomorphisme canonique de complexes
g
∗ f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S )
∼
−→ f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
i
X ′ /S ′ ).
Comme le complexe f ∗ ˇ
C(U, Ω
i
X/S ) est born´ e et ` a composantes plates, cet isomorphisme r´ ealise l’isomorphisme (6.6.1). De mˆ eme, Rf ∗ Ω
•
X/S (resp. Rf
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′ )) est
repr´ esent´ e par f ∗ ˇ
C(U, Ω
•
X/S ) (resp. f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
•
X ′ /S ′ )) (o` u ˇ
C d´ esigne cette fois le complexe simple associ´ e au bicomplexe de ˇ
Cech), et l’on a un isomorphisme canonique
de complexes
g
∗ f ∗ ˇ
C(U, Ω
•
X/S )
∼
−→ f
′
∗
ˇ
C(U
′ , Ω
•
X ′ /S ′ ),
qui r´ ealise l’isomorphisme (6.6.2). Les assertions (c) et (d) r´ esultent de (b) et du
lemme suivant, dont nous laissons la v´ erification au lecteur :
Lemme 6.7. Soient A un anneau noeth´ erien et E un complexe de A-modules tel
que H
i (E) soit projectif de type fini pour tout i et nul pour presque tout i. Alors :
(a) E est isomorphe, dans D(A), ` a un complexe born´ e ` a composantes projectives
de type fini ;
(b) si E est born´ e et ` a composantes projectives de type fini, alors, pour toute
A-alg` ebre B, et pour tout i, l’homomorphisme canonique
B ⊗ A H
i (E) −→ H
i (B ⊗ A E)
est un isomorphisme.
Remarques 6.8. (a) Un complexe de A-modules isomorphe, dans D(A), ` a un
complexe born´ e ` a composantes projectives de type fini est dit parfait. Prendre
garde que, si E est parfait, il n’est pas vrai, en g´ en´ eral, que les H
i (E) soient
projectifs de type fini. On peut montrer que, sous les hypoth` eses de 6.6, les
18 Un morphisme de sch´ emas est dit affine si l’image inverse de tout ouvert affine est affine.