6. De la caract´ eristique p > 0 `
a la caract´ eristique nulle
151
Nous aurons enfin ` a utiliser des r´ esultats standard de compatibilit´ e des
images directes au changement de base (ou, comme on dit parfois, de propret´ e
cohomologique). Pour ne pas alourdir l’exposition, nous ne les ´ enoncerons que
dans le cas o` u nous aurons ` a nous en servir, pour la cohomologie de Hodge et la
cohomologie de De Rham.
Proposition 6.6. Soient S un sch´ ema affine
17 noeth´ erien int` egre et f : X −→ S
un morphisme propre et lisse.
(a) Les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S et R
n f ∗ Ω
•
X/S sont coh´ erents. Il existe un ouvert non
vide U de S tel que, pour tout (i, j) et tout n, les restrictions ` a U de ces
faisceaux soient localement libres de type fini.
(b) Pour tout i ∈ Z et pour tout morphisme g : S
′ −→ S, si f’ : X
′ −→ S’ d´ esigne
le sch´ ema d´ eduit de X par le changement de base g, les fl` eches canoniques de
D(S
′ ) (dites de changement de base)
Lg
∗ Rf ∗ Ω
i
X/S −→ Rf
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′
(6.6.1)
Lg
∗ Rf ∗ Ω
•
X/S −→ Rf
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′
(6.6.2)
sont des isomorphismes.
(c) Fixons i ∈ Z, et supposons que, pour tout j, le faisceau R
j f ∗ Ω
i
X/S soit
localement libre sur S, de rang constant h
i j . Alors, pour tout j, la fl` eche
de changement de base (d´ eduite de (6.6.1))
(6.6.3)
g
∗ R
j f ∗ Ω
i
X/S −→ R
j f
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′
est un isomorphisme. En particulier, R
j f
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′ est localement libre de rang
h
i j .
(d) Supposons que, pour tout n, R
n f ∗ Ω
•
X/S soit localement libre de rang constant
h
n . Alors, pour tout n, la fl` eche de changement de base (d´ eduite de (6.6.2))
(6.6.4)
g
∗ R
n f ∗ Ω
•
X/S −→ R
n f
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′
est un isomorphisme. En particulier, R
n f
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′ est localement libre de rang
h
n .
Indiquons rapidement la d´ emonstration. Le fait que les R
j f ∗ Ω
i
X/S soient
coh´ erents est un cas particulier du th´ eor` eme de finitude de Grothendieck (EGA
III 3) (ou [H2] III 8.8 dans le cas projectif). La coh´ erence des R
n f ∗ Ω
•
X/S en
r´ esulte par la suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (5.9(2)). Pour la
deuxi` eme assertion de (a), notons A l’anneau (int` egre) de S, K son corps des
fractions, qui est donc l’anneau local de S en son point g´ en´ erique η. Posons
17 L’hypoth` ese “affine” est inutile, nous ne la faisons que pour faciliter la preuve de (b).
a la caract´ eristique nulle
151
Nous aurons enfin ` a utiliser des r´ esultats standard de compatibilit´ e des
images directes au changement de base (ou, comme on dit parfois, de propret´ e
cohomologique). Pour ne pas alourdir l’exposition, nous ne les ´ enoncerons que
dans le cas o` u nous aurons ` a nous en servir, pour la cohomologie de Hodge et la
cohomologie de De Rham.
Proposition 6.6. Soient S un sch´ ema affine
17 noeth´ erien int` egre et f : X −→ S
un morphisme propre et lisse.
(a) Les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S et R
n f ∗ Ω
•
X/S sont coh´ erents. Il existe un ouvert non
vide U de S tel que, pour tout (i, j) et tout n, les restrictions ` a U de ces
faisceaux soient localement libres de type fini.
(b) Pour tout i ∈ Z et pour tout morphisme g : S
′ −→ S, si f’ : X
′ −→ S’ d´ esigne
le sch´ ema d´ eduit de X par le changement de base g, les fl` eches canoniques de
D(S
′ ) (dites de changement de base)
Lg
∗ Rf ∗ Ω
i
X/S −→ Rf
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′
(6.6.1)
Lg
∗ Rf ∗ Ω
•
X/S −→ Rf
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′
(6.6.2)
sont des isomorphismes.
(c) Fixons i ∈ Z, et supposons que, pour tout j, le faisceau R
j f ∗ Ω
i
X/S soit
localement libre sur S, de rang constant h
i j . Alors, pour tout j, la fl` eche
de changement de base (d´ eduite de (6.6.1))
(6.6.3)
g
∗ R
j f ∗ Ω
i
X/S −→ R
j f
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′
est un isomorphisme. En particulier, R
j f
′
∗ Ω
i
X ′ /S ′ est localement libre de rang
h
i j .
(d) Supposons que, pour tout n, R
n f ∗ Ω
•
X/S soit localement libre de rang constant
h
n . Alors, pour tout n, la fl` eche de changement de base (d´ eduite de (6.6.2))
(6.6.4)
g
∗ R
n f ∗ Ω
•
X/S −→ R
n f
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′
est un isomorphisme. En particulier, R
n f
′
∗ Ω
•
X ′ /S ′ est localement libre de rang
h
n .
Indiquons rapidement la d´ emonstration. Le fait que les R
j f ∗ Ω
i
X/S soient
coh´ erents est un cas particulier du th´ eor` eme de finitude de Grothendieck (EGA
III 3) (ou [H2] III 8.8 dans le cas projectif). La coh´ erence des R
n f ∗ Ω
•
X/S en
r´ esulte par la suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (5.9(2)). Pour la
deuxi` eme assertion de (a), notons A l’anneau (int` egre) de S, K son corps des
fractions, qui est donc l’anneau local de S en son point g´ en´ erique η. Posons
17 L’hypoth` ese “affine” est inutile, nous ne la faisons que pour faciliter la preuve de (b).