150
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(b) Si (X i ), (Y i ) sont deux syst` emes projectifs de S i -sch´ emas, cart´ esiens pour
i i 0 , et si X i 0 et Y i 0 sont de pr´ esentation finie sur S i 0 , alors l’application (6.1.3)
est bijective.
Comme pr´ ec´ edemment, il en r´ esulte que le X i 0 de 6.2 (a) est essentiellement
unique (deux tels sch´ emas deviennent S i -isomorphes pour i assez grand). De plus,
les propri´ et´ es usuelles d’un S-sch´ ema de pr´ esentation finie (ou d’un morphisme
entre tels) se lisent d´ ej` a, en quelque sorte, sur S i pour i assez grand. En voici
quelques unes, dont nous nous servirons (le lecteur en trouvera une longue liste
dans (EGA IV 8, 11.2, 17.7)) :
Proposition 6.3. Soit X un S-sch´ ema de pr´ esentation finie. On suppose que X
poss` ede l’une des propri´ et´ es P suivantes : projectif, propre, lisse. Alors il existe
i 0 ∈ I et un S i 0 -sch´ ema X i 0 de pr´ esentation finie, poss´ edant la mˆ eme propri´ et´ e P,
dont X se d´ eduit par changement de base.
Le cas o` u P est “projectif” est facile : X est le sous-sch´ ema ferm´ e d’un espace
projectif standard P = P
r
S d´ efini par un id´ eal localement de type fini, il suffit de
relever P , puis l’immersion ferm´ ee (i.e. le quotient de O P correspondant, cf. 6.11).
Le cas “propre” est moins imm´ ediat mais, en gros, s’y ram` ene, par un r´ esultat
classique, qu’on appelle le lemme de Chow (cf. EGA IV 8.10.5). Le cas “lisse” est
un peu plus difficile (on utilise le crit` ere 2.10), voir (EGA IV 11.2.6 et 17.7.8). En
ce qui concerne les propri´ et´ es de type (b) ´ evoqu´ ees en 6.0, nous aurons seulement
besoin du r´ esultat suivant :
Proposition 6.4. Soit S un sch´ ema de type fini sur Z. Alors :
(a) Si x est un point ferm´ e de S, le corps r´ esiduel k(x) est un corps fini ;
(b) toute partie localement ferm´ ee non vide Z de S contient un point ferm´ e de S.
Nous renvoyons pour la d´ emonstration ` a (EGA IV 10.4.6, 10.4.7), ou, dans
le cas o` u S est affine, auquel on se ram` ene d’ailleurs aussitˆ ot, ` a (Bourbaki, Alg.
Com. V, par. 3, n
◦ 4) (c’est une cons´ equence du th´ eor` eme des z´ eros de Hilbert).
Nous aurons ` a appliquer 6.4 (b) au cas o` u Z est le lieu de lissit´ e de S, S ´ etant
suppos´ e int` egre
16 :
Proposition 6.5. Soit S un sch´ ema int` egre de type fini sur Z. L’ensemble des
points x de S en lesquels S est lisse sur Spec Z est un ouvert non vide de S. En
particulier, si A est une Z-alg` ebre de type fini, int` egre, il existe s ∈ A, s = 0, tel
que Spec A s soit lisse sur Z.
L’ouverture de l’ensemble des points de lissit´ e d’un morphisme localement de
pr´ esentation finie est un fait g´ en´ eral, qui r´ esulte par exemple du crit` ere jacobien
2.6 (a), cf. (EGA IV 12.1.6). Que dans le cas pr´ esent cet ouvert soit non vide
d´ ecoule d’une variante locale de 2.10 et du fait que la fibre g´ en´ erique de S est lisse
sur Q en son point g´ en´ erique, Q ´ etant parfait.
16 Un sch´ ema est dit int` egre s’il est irr´ eductible et r´ eduit.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(b) Si (X i ), (Y i ) sont deux syst` emes projectifs de S i -sch´ emas, cart´ esiens pour
i i 0 , et si X i 0 et Y i 0 sont de pr´ esentation finie sur S i 0 , alors l’application (6.1.3)
est bijective.
Comme pr´ ec´ edemment, il en r´ esulte que le X i 0 de 6.2 (a) est essentiellement
unique (deux tels sch´ emas deviennent S i -isomorphes pour i assez grand). De plus,
les propri´ et´ es usuelles d’un S-sch´ ema de pr´ esentation finie (ou d’un morphisme
entre tels) se lisent d´ ej` a, en quelque sorte, sur S i pour i assez grand. En voici
quelques unes, dont nous nous servirons (le lecteur en trouvera une longue liste
dans (EGA IV 8, 11.2, 17.7)) :
Proposition 6.3. Soit X un S-sch´ ema de pr´ esentation finie. On suppose que X
poss` ede l’une des propri´ et´ es P suivantes : projectif, propre, lisse. Alors il existe
i 0 ∈ I et un S i 0 -sch´ ema X i 0 de pr´ esentation finie, poss´ edant la mˆ eme propri´ et´ e P,
dont X se d´ eduit par changement de base.
Le cas o` u P est “projectif” est facile : X est le sous-sch´ ema ferm´ e d’un espace
projectif standard P = P
r
S d´ efini par un id´ eal localement de type fini, il suffit de
relever P , puis l’immersion ferm´ ee (i.e. le quotient de O P correspondant, cf. 6.11).
Le cas “propre” est moins imm´ ediat mais, en gros, s’y ram` ene, par un r´ esultat
classique, qu’on appelle le lemme de Chow (cf. EGA IV 8.10.5). Le cas “lisse” est
un peu plus difficile (on utilise le crit` ere 2.10), voir (EGA IV 11.2.6 et 17.7.8). En
ce qui concerne les propri´ et´ es de type (b) ´ evoqu´ ees en 6.0, nous aurons seulement
besoin du r´ esultat suivant :
Proposition 6.4. Soit S un sch´ ema de type fini sur Z. Alors :
(a) Si x est un point ferm´ e de S, le corps r´ esiduel k(x) est un corps fini ;
(b) toute partie localement ferm´ ee non vide Z de S contient un point ferm´ e de S.
Nous renvoyons pour la d´ emonstration ` a (EGA IV 10.4.6, 10.4.7), ou, dans
le cas o` u S est affine, auquel on se ram` ene d’ailleurs aussitˆ ot, ` a (Bourbaki, Alg.
Com. V, par. 3, n
◦ 4) (c’est une cons´ equence du th´ eor` eme des z´ eros de Hilbert).
Nous aurons ` a appliquer 6.4 (b) au cas o` u Z est le lieu de lissit´ e de S, S ´ etant
suppos´ e int` egre
16 :
Proposition 6.5. Soit S un sch´ ema int` egre de type fini sur Z. L’ensemble des
points x de S en lesquels S est lisse sur Spec Z est un ouvert non vide de S. En
particulier, si A est une Z-alg` ebre de type fini, int` egre, il existe s ∈ A, s = 0, tel
que Spec A s soit lisse sur Z.
L’ouverture de l’ensemble des points de lissit´ e d’un morphisme localement de
pr´ esentation finie est un fait g´ en´ eral, qui r´ esulte par exemple du crit` ere jacobien
2.6 (a), cf. (EGA IV 12.1.6). Que dans le cas pr´ esent cet ouvert soit non vide
d´ ecoule d’une variante locale de 2.10 et du fait que la fibre g´ en´ erique de S est lisse
sur Q en son point g´ en´ erique, Q ´ etant parfait.
16 Un sch´ ema est dit int` egre s’il est irr´ eductible et r´ eduit.