6. De la caract´ eristique p > 0 `
a la caract´ eristique nulle
149
On a une r´ eponse positive aux deux questions moyennant des hypoth` eses de
pr´ esentation finie (rappelons qu’un module est dit de pr´ esentation finie s’il est
conoyau d’un homomorphisme entre modules libres de type fini). Plus pr´ ecis´ ement,
on a l’´ enonc´ e suivant, de v´ erification imm´ ediate :
Lemme 6.1.2. Avec les notations pr´ ec´ edentes :
(a) si E est un A-module de pr´ esentation finie, il existe i 0 ∈ I et un A i 0 -module
de pr´ esentation finie E i 0 tel que u
∗
i 0
E i 0 ≃ E ;
(b) Soient (E i ), (F i ) deux syst` emes inductifs, cart´ esiens pour i i 0 , de limites
inductives respectives E et F ; si E i 0 est de pr´ esentation finie, l’application
(6.1.1) est un isomorphisme.
Il en r´ esulte que, si E est de pr´ esentation finie, le E i 0 dont il provient par
extension des scalaires est essentiellement unique, en ce sens que si E i 1 est un
autre choix (E i 0 et E i 1 ´ etant tous deux de pr´ esentation finie), il existe i 2 avec
i 2 i 1 et i 2 i 0 tel que E i 0 et E i 1 deviennent isomorphes par extension des
scalaires ` a A i 2 .
Les S i = Spec A i forment un syst` eme projectif de sch´ emas dont S = Spec A
est la limite projective. Si (X i , v ij : X j −→ X i ) est un syst` eme projectif de S i -
sch´ emas, nous dirons que ce syt` eme est cart´ esien pour i i 0 si, pour i 0 i j,
la fl` eche de transition v ij donne un carr´ e cart´ esien
X j −→ X i
S j −→ S i .
Dans ce cas, le S-sch´ ema d´ eduit de X i 0 par extension des scalaires ` a S est la limite
projective des X i . Si (Y i ) est un second syst` eme projectif de S i -sch´ emas, cart´ esien
pour i i 0 , de limite projective Y ( = S × S i 0 Y i 0 ), les Hom S i (X i , Y i ) forment un
syst` eme projectif, et l’on a une application analogue ` a (6.1.1) :
(6.1.3)
lim proj Hom S i (X i , Y i ) −→ Hom S (X, Y ).
On peut alors formuler des questions similaires ` a (1) et (2) ci-dessus. Elles ont des
r´ eponses analogues, ` a condition de remplacer les hypoth` eses de pr´ esentation finie
pour les modules par des hypoth` eses de pr´ esentation finie pour les sch´ emas (un
morphisme de sch´ emas X −→ Y est dit de pr´ esentation finie s’il est localement
de pr´ esentation finie (2.1) et “quasi-compact et quasi-s´ epar´ e”, ce qui signifie que
X est r´ eunion finie d’ouverts affines U α au-dessus d’un ouvert affine V α de Y et
que les intersections U α ∩ U β ont la mˆ eme propri´ et´ e ; si Y est noeth´ erien, X est de
pr´ esentation finie sur Y si et seulement si X est de type fini sur Y , i.e. localement
de type fini sur Y (2.1) et noeth´ erien) :
Proposition 6.2. (a) Si X est un S-sch´ ema de pr´ esentation finie, il existe i 0 ∈ I
et un S i 0 -sch´ ema X i 0 de pr´ esentation finie dont X se d´ eduit par changement de
base.
a la caract´ eristique nulle
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On a une r´ eponse positive aux deux questions moyennant des hypoth` eses de
pr´ esentation finie (rappelons qu’un module est dit de pr´ esentation finie s’il est
conoyau d’un homomorphisme entre modules libres de type fini). Plus pr´ ecis´ ement,
on a l’´ enonc´ e suivant, de v´ erification imm´ ediate :
Lemme 6.1.2. Avec les notations pr´ ec´ edentes :
(a) si E est un A-module de pr´ esentation finie, il existe i 0 ∈ I et un A i 0 -module
de pr´ esentation finie E i 0 tel que u
∗
i 0
E i 0 ≃ E ;
(b) Soient (E i ), (F i ) deux syst` emes inductifs, cart´ esiens pour i i 0 , de limites
inductives respectives E et F ; si E i 0 est de pr´ esentation finie, l’application
(6.1.1) est un isomorphisme.
Il en r´ esulte que, si E est de pr´ esentation finie, le E i 0 dont il provient par
extension des scalaires est essentiellement unique, en ce sens que si E i 1 est un
autre choix (E i 0 et E i 1 ´ etant tous deux de pr´ esentation finie), il existe i 2 avec
i 2 i 1 et i 2 i 0 tel que E i 0 et E i 1 deviennent isomorphes par extension des
scalaires ` a A i 2 .
Les S i = Spec A i forment un syst` eme projectif de sch´ emas dont S = Spec A
est la limite projective. Si (X i , v ij : X j −→ X i ) est un syst` eme projectif de S i -
sch´ emas, nous dirons que ce syt` eme est cart´ esien pour i i 0 si, pour i 0 i j,
la fl` eche de transition v ij donne un carr´ e cart´ esien
X j −→ X i
S j −→ S i .
Dans ce cas, le S-sch´ ema d´ eduit de X i 0 par extension des scalaires ` a S est la limite
projective des X i . Si (Y i ) est un second syst` eme projectif de S i -sch´ emas, cart´ esien
pour i i 0 , de limite projective Y ( = S × S i 0 Y i 0 ), les Hom S i (X i , Y i ) forment un
syst` eme projectif, et l’on a une application analogue ` a (6.1.1) :
(6.1.3)
lim proj Hom S i (X i , Y i ) −→ Hom S (X, Y ).
On peut alors formuler des questions similaires ` a (1) et (2) ci-dessus. Elles ont des
r´ eponses analogues, ` a condition de remplacer les hypoth` eses de pr´ esentation finie
pour les modules par des hypoth` eses de pr´ esentation finie pour les sch´ emas (un
morphisme de sch´ emas X −→ Y est dit de pr´ esentation finie s’il est localement
de pr´ esentation finie (2.1) et “quasi-compact et quasi-s´ epar´ e”, ce qui signifie que
X est r´ eunion finie d’ouverts affines U α au-dessus d’un ouvert affine V α de Y et
que les intersections U α ∩ U β ont la mˆ eme propri´ et´ e ; si Y est noeth´ erien, X est de
pr´ esentation finie sur Y si et seulement si X est de type fini sur Y , i.e. localement
de type fini sur Y (2.1) et noeth´ erien) :
Proposition 6.2. (a) Si X est un S-sch´ ema de pr´ esentation finie, il existe i 0 ∈ I
et un S i 0 -sch´ ema X i 0 de pr´ esentation finie dont X se d´ eduit par changement de
base.