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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
spectres de corps finis, et qu’en un sens qu’on peut pr´ eciser, il y a beaucoup de
tels points, de sorte qu’il suffit de v´ erifier l’´ enonc´ e pos´ e sur T apr` es sp´ ecialisation
en suffisamment de ces points : on a alors affaire ` a un probl` eme de caract´ eristique
p > 0, o` u l’on dispose de la panoplie des m´ ethodes correspondantes (Frobenius,
isomorphisme de Cartier, etc.) ; on peut de plus exploiter le fait de pouvoir choisir
la caract´ eristique assez grande.
Les deux ingr´ edients de la m´ ethode sont : (a) des r´ esultats de passage ` a la
limite, expos´ ee en grande g´ en´ eralit´ e dans (EGA IV 8), permettant “d’´ etendre”
15 certaines donn´ ees et propri´ et´ es sur K en des donn´ ees et propri´ et´ es analogues
sur B ; (b) des propri´ et´ es de densit´ e des points ferm´ es de sch´ emas tels que les
sch´ emas de type fini sur un corps ou sur Z (EGA IV 10).
6.1. Soit ((A i ) i∈I , u ij : A i −→ A j (i j)) un syst` eme inductif filtrant d’anneaux,
de limite inductive A ; notons u i : A i −→ A l’homomorphisme canonique. Les deux
exemples les plus importants sont : (i) un anneau A ´ ecrit comme limite inductive
de ses sous-Z-alg` ebres de type fini ; (ii) le localis´ e A p d’un anneau A en un id´ eal
premier p ´ ecrit comme limite inductive des localis´ es A f ( = A[1/f ]) pour f /
∈ p.
Le prototype des probl` emes et r´ esultats du type (a) ci-dessus est le suivant.
Soit (E i ) = ((E i ) i∈I , v ij : E i −→ E j ) un syst` eme inductif de A i -modules, ayant
pour limite inductive le A-module E. Convenons de dire que (E i ) est cart´ esien
si, pour tout i j, v ij (qui est un homomorphisme A i -lin´ eaire de E i dans E j
consid´ er´ e comme A i -module via u ij ) induit, par adjonction, un isomorphisme (A j -
lin´ eaire) de u
∗
ij E i = A j ⊗ A i E i dans E j . Dans ce cas, l’homomorphisme canonique
v i : E i −→ E induit, pour tout i, un isomorphisme u
∗
i E i ( = A⊗ A i E i )
∼
−→ E. Soit
((F i ) i ∈ I, w ij ) un second syst` eme inductif de A i -modules. Si (E i ) est cart´ esien,
les Hom A i (E i , F i ) forment un syst` eme inductif de A i -modules : l’application de
transition pour i j associe ` a f i : E i −→ F i l’homomorphisme E j −→ F j
compos´ e de l’inverse de l’isomorphisme de A j ⊗ E i dans E j d´ efini par v ij , de
A j ⊗ f i : A j ⊗ E i −→ A j ⊗ F i , et de l’application de A j ⊗ F i dans F j d´ efinie par
w ij . Si F d´ esigne la limite inductive des F i , on a des applications analogues de
Hom A i (E i , F i ) dans Hom A (E, F ), qui d´ efinissent un homomorphisme
(6.1.1)
lim ind Hom A i (E i , F i ) −→ Hom A (E, F ).
On peut alors se poser les deux questions suivantes :
(1) Etant donn´ e un A-module E, existe-t-il i 0 ∈ I et un A i 0 -module E i 0 tel que
E se d´ eduise de E i 0 par extension des scalaires de A i 0 ` a A (ou, ce qui revient au
mˆ eme, existe-t-il un syst` eme inductif cart´ esien (E i ), index´ e par {i ∈ I|i i 0 },
dont la limite soit E) ?
(2) S’il existe i 0 tel que (E i ) et (F i ) soient cart´ esiens pour i i 0 , l’application
(6.1.1) (o` u la limite inductive est prise pour i i 0 ) est-elle un isomorphisme ?
15 en anglais, “spreading out”
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
spectres de corps finis, et qu’en un sens qu’on peut pr´ eciser, il y a beaucoup de
tels points, de sorte qu’il suffit de v´ erifier l’´ enonc´ e pos´ e sur T apr` es sp´ ecialisation
en suffisamment de ces points : on a alors affaire ` a un probl` eme de caract´ eristique
p > 0, o` u l’on dispose de la panoplie des m´ ethodes correspondantes (Frobenius,
isomorphisme de Cartier, etc.) ; on peut de plus exploiter le fait de pouvoir choisir
la caract´ eristique assez grande.
Les deux ingr´ edients de la m´ ethode sont : (a) des r´ esultats de passage ` a la
limite, expos´ ee en grande g´ en´ eralit´ e dans (EGA IV 8), permettant “d’´ etendre”
15 certaines donn´ ees et propri´ et´ es sur K en des donn´ ees et propri´ et´ es analogues
sur B ; (b) des propri´ et´ es de densit´ e des points ferm´ es de sch´ emas tels que les
sch´ emas de type fini sur un corps ou sur Z (EGA IV 10).
6.1. Soit ((A i ) i∈I , u ij : A i −→ A j (i j)) un syst` eme inductif filtrant d’anneaux,
de limite inductive A ; notons u i : A i −→ A l’homomorphisme canonique. Les deux
exemples les plus importants sont : (i) un anneau A ´ ecrit comme limite inductive
de ses sous-Z-alg` ebres de type fini ; (ii) le localis´ e A p d’un anneau A en un id´ eal
premier p ´ ecrit comme limite inductive des localis´ es A f ( = A[1/f ]) pour f /
∈ p.
Le prototype des probl` emes et r´ esultats du type (a) ci-dessus est le suivant.
Soit (E i ) = ((E i ) i∈I , v ij : E i −→ E j ) un syst` eme inductif de A i -modules, ayant
pour limite inductive le A-module E. Convenons de dire que (E i ) est cart´ esien
si, pour tout i j, v ij (qui est un homomorphisme A i -lin´ eaire de E i dans E j
consid´ er´ e comme A i -module via u ij ) induit, par adjonction, un isomorphisme (A j -
lin´ eaire) de u
∗
ij E i = A j ⊗ A i E i dans E j . Dans ce cas, l’homomorphisme canonique
v i : E i −→ E induit, pour tout i, un isomorphisme u
∗
i E i ( = A⊗ A i E i )
∼
−→ E. Soit
((F i ) i ∈ I, w ij ) un second syst` eme inductif de A i -modules. Si (E i ) est cart´ esien,
les Hom A i (E i , F i ) forment un syst` eme inductif de A i -modules : l’application de
transition pour i j associe ` a f i : E i −→ F i l’homomorphisme E j −→ F j
compos´ e de l’inverse de l’isomorphisme de A j ⊗ E i dans E j d´ efini par v ij , de
A j ⊗ f i : A j ⊗ E i −→ A j ⊗ F i , et de l’application de A j ⊗ F i dans F j d´ efinie par
w ij . Si F d´ esigne la limite inductive des F i , on a des applications analogues de
Hom A i (E i , F i ) dans Hom A (E, F ), qui d´ efinissent un homomorphisme
(6.1.1)
lim ind Hom A i (E i , F i ) −→ Hom A (E, F ).
On peut alors se poser les deux questions suivantes :
(1) Etant donn´ e un A-module E, existe-t-il i 0 ∈ I et un A i 0 -module E i 0 tel que
E se d´ eduise de E i 0 par extension des scalaires de A i 0 ` a A (ou, ce qui revient au
mˆ eme, existe-t-il un syst` eme inductif cart´ esien (E i ), index´ e par {i ∈ I|i i 0 },
dont la limite soit E) ?
(2) S’il existe i 0 tel que (E i ) et (F i ) soient cart´ esiens pour i i 0 , l’application
(6.1.1) (o` u la limite inductive est prise pour i i 0 ) est-elle un isomorphisme ?
15 en anglais, “spreading out”