6. De la caract´ eristique p > 0 `
a la caract´ eristique nulle
147
τ 1 F ∗ Ω
•
X/S est un espace affine sous le mˆ eme groupe (4.6(c)) : on montre
que l’application Z
′ −→ ϕ Z ′ construite dans la d´ emonstration de 5.1 est une
bijection affine entre ces deux espaces.
(c) On donne en fait dans [D-I] 3.5 un ´ enonc´ e coiffant (a) et (b), faisant appel ` a
la th´ eorie des gerbes de Giraud [Gi].
(2) Le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence 5.6 a une variante relative. Pla¸ cons-nous sous
les hypoth` eses de 5.1, notons f : X −→ S le morphisme structural. On dispose
alors de la suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur f ∗ et au complexe Ω
•
X/S ,
E
i j
1 = R
j f ∗ Ω
i
X/S =⇒ R
∗ f ∗ (Ω
•
X/S ),
qu’on appelle suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (de X sur S). Alors,
si X est propre et lisse de dimension relative < p, et si X
′ se rel` eve sur T , cette
suite spectrale d´ eg´ en` ere en E 1 et les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S sont localement libres de
type fini ([D-I] 4.1.5).
(3) La derni` ere assertion de 5.5 et les conclusions de 5.6 et 5.8 restent encore vraies
si l’on suppose seulement X de dimension p ([D-I] 2.3). C’est une cons´ equence
de la dualit´ e de Grothendieck pour le morphisme F .
(4) Il existe de nombreux exemples de surfaces propres et lisses X sur un corps
alg´ ebriquement clos k de caract´ eristique p pour lesquelles la suite spectrale de
Hodge vers De Rham ne d´ eg´ en` ere pas en E 1 et qui ne v´ erifient pas la propri´ et´ e
d’annulation de type Kodaira-Akizuki-Nakano de 5.8 (compte tenu de (3) si p = 2,
ou 5.6 et 5.8 si p > 2, ces surfaces ne se rel` event donc pas sur W 2 (k)). Voir ([D-I]
2.6 et 2.10) pour une bibliographie sur ce sujet.
(5) Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont encore valables si d = 2 p, X est relevable
sur W 2 (k) et L est seulement suppos´ e num´ eriquement positif, i.e. v´ erifie L · L > 0
et L · O(D) 0 pour tout diviseur effectif D, voir [D-I] 2.
6. De la caract´ eristique p > 0 ` a la caract´ eristique nulle
6.0. Il existe une technique standard, en g´ eom´ etrie alg´ ebrique, qui permet de
prouver certains ´ enonc´ es, de nature g´ eom´ etrique
14 , formul´ es sur un corps de
base de caract´ eristique nulle, ` a partir d’´ enonc´ es analogues sur un corps de
caract´ eristique p > 0, voire un corps fini. Elle consiste, grosso modo, ` a ´ ecrire, un
peu brutalement, le corps de base K donn´ e, qui est de caract´ eristique nulle, comme
limite inductive de ses sous-Z-alg` ebres de type fini A i : les donn´ ees sur K, pourvu
qu’elles v´ erifient certaines conditions de finitude, proviennent, par extension des
scalaires, de donn´ ees analogues sur l’une des A i , disons A i 0 = B ; il suffit alors de
r´ esoudre le probl` eme similaire sur T = Spec B, ce qui est, en apparence, plus
difficile ; l’avantage, cependant, est que les points ferm´ es de T sont alors des
14 i.e. stables par extension de la base, par opposition aux ´ enonc´ es de nature arithm´ etique, o` u
la base joue un rˆ ole essentiel
a la caract´ eristique nulle
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τ 1 F ∗ Ω
•
X/S est un espace affine sous le mˆ eme groupe (4.6(c)) : on montre
que l’application Z
′ −→ ϕ Z ′ construite dans la d´ emonstration de 5.1 est une
bijection affine entre ces deux espaces.
(c) On donne en fait dans [D-I] 3.5 un ´ enonc´ e coiffant (a) et (b), faisant appel ` a
la th´ eorie des gerbes de Giraud [Gi].
(2) Le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence 5.6 a une variante relative. Pla¸ cons-nous sous
les hypoth` eses de 5.1, notons f : X −→ S le morphisme structural. On dispose
alors de la suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur f ∗ et au complexe Ω
•
X/S ,
E
i j
1 = R
j f ∗ Ω
i
X/S =⇒ R
∗ f ∗ (Ω
•
X/S ),
qu’on appelle suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (de X sur S). Alors,
si X est propre et lisse de dimension relative < p, et si X
′ se rel` eve sur T , cette
suite spectrale d´ eg´ en` ere en E 1 et les faisceaux R
j f ∗ Ω
i
X/S sont localement libres de
type fini ([D-I] 4.1.5).
(3) La derni` ere assertion de 5.5 et les conclusions de 5.6 et 5.8 restent encore vraies
si l’on suppose seulement X de dimension p ([D-I] 2.3). C’est une cons´ equence
de la dualit´ e de Grothendieck pour le morphisme F .
(4) Il existe de nombreux exemples de surfaces propres et lisses X sur un corps
alg´ ebriquement clos k de caract´ eristique p pour lesquelles la suite spectrale de
Hodge vers De Rham ne d´ eg´ en` ere pas en E 1 et qui ne v´ erifient pas la propri´ et´ e
d’annulation de type Kodaira-Akizuki-Nakano de 5.8 (compte tenu de (3) si p = 2,
ou 5.6 et 5.8 si p > 2, ces surfaces ne se rel` event donc pas sur W 2 (k)). Voir ([D-I]
2.6 et 2.10) pour une bibliographie sur ce sujet.
(5) Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont encore valables si d = 2 p, X est relevable
sur W 2 (k) et L est seulement suppos´ e num´ eriquement positif, i.e. v´ erifie L · L > 0
et L · O(D) 0 pour tout diviseur effectif D, voir [D-I] 2.
6. De la caract´ eristique p > 0 ` a la caract´ eristique nulle
6.0. Il existe une technique standard, en g´ eom´ etrie alg´ ebrique, qui permet de
prouver certains ´ enonc´ es, de nature g´ eom´ etrique
14 , formul´ es sur un corps de
base de caract´ eristique nulle, ` a partir d’´ enonc´ es analogues sur un corps de
caract´ eristique p > 0, voire un corps fini. Elle consiste, grosso modo, ` a ´ ecrire, un
peu brutalement, le corps de base K donn´ e, qui est de caract´ eristique nulle, comme
limite inductive de ses sous-Z-alg` ebres de type fini A i : les donn´ ees sur K, pourvu
qu’elles v´ erifient certaines conditions de finitude, proviennent, par extension des
scalaires, de donn´ ees analogues sur l’une des A i , disons A i 0 = B ; il suffit alors de
r´ esoudre le probl` eme similaire sur T = Spec B, ce qui est, en apparence, plus
difficile ; l’avantage, cependant, est que les points ferm´ es de T sont alors des
14 i.e. stables par extension de la base, par opposition aux ´ enonc´ es de nature arithm´ etique, o` u
la base joue un rˆ ole essentiel