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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
donc un isomorphisme F
′ ∗ M
′ ≃ M
⊗ p , o` u F : X −→ X
′ est le Frobenius relatif et
M
′ est l’image inverse de M sur X
′ . On en d´ eduit, pour tout i, des isomorphismes
de O X ′ -modules
(∗∗)
M
′ ⊗ F ∗ Ω
i
X/k ≃ F ∗ (F
∗ M
′ ⊗ Ω
i
X/k ) ≃ F ∗ (M
⊗ p ⊗ Ω
i
X/k ).
Consid´ erons la suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur T = Γ(X
′ , •) et au
complexe K = M
′ ⊗ F ∗ Ω
•
X/k :
E
i j
1 = H
j (X
′ , M
′ ⊗ F ∗ Ω
i
X/k ) =⇒ H
∗ (X
′ , M
′ ⊗ F ∗ Ω
•
X/k ).
L’hypoth` ese et (∗∗) impliquent que E
i j
1 = 0 pour i + j < d. Donc
H
n (X
′ , M
′ ⊗ F ∗ Ω
•
X/k ) = 0 pour n < d.
Mais comme, d’apr` es 5.5, F ∗ Ω
•
X/k est d´ ecomposable, on a (dans D(X
′ ))
F ∗ Ω
•
X/k ≃
Ω
i
X ′ /k [−i],
donc
H
n (X
′ , M
′ ⊗ F ∗ Ω
•
X/k ) ≃
i+j=n
H
j (X
′ , M
′ ⊗ Ω
i
X ′ /k ),
et donc
H
j (X
′ , M
′ ⊗ Ω
i
X ′ /k ) = 0 pour i + j < d.
La conclusion de (∗) en d´ ecoule, puisqu’on a
F
∗
S H
j (X, M ⊗ Ω
i
X/k ) ≃ H
j (X
′ , M
′ ⊗ Ω
i
X ′ /k )
(cf. la fin de la d´ emonstration de 5.6).
Remarques 5.9. Le lecteur trouvera dans [D-I] de nombreux compl´ ements aux
r´ esultats expos´ es ci-dessus. En voici quelques uns.
(1) Pla¸ cons-nous sous les hypoth` eses de 5.1. Alors :
(a) X
′ se rel` eve sur T si et seulement si τ 1 F ∗ Ω
•
X/S est d´ ecomposable dans D(X
′ )
(ou, ce qui revient au mˆ eme, τ

•
X/S l’est). Rappelons qu’il existe une
obstruction ω ∈ Ext
2 (Ω
1
X ′ /S , O X ′ ) au rel` evement de X
′ (2.12 (a) et (3.7.1)),
et que, compte tenu de l’isomorphisme de Cartier, c’est dans ce mˆ eme groupe
que se trouve l’obstruction c 1 ` a la d´ ecomposabilit´ e de τ 1 F ∗ Ω
•
X/S (4.6(a)) : on
montre qu’avec des conventions de signes convenables, ω = c 1 .
(b) Si X
′ se rel` eve sur T , l’ensemble des classes d’isomorphie de rel` evements de
X
′ est un espace affine sous Ext
1 (Ω
1
X ′ /S , O X ′ )(2.12 (b) et (3.7.1)), et (toujours
compte tenu de l’isomorphisme de Cartier) l’ensemble des d´ ecompositions de