5. D´ ecomposition, d´ eg´ en´ erescence et annulation en car p > 0
145
dans un espace projectif standard P = P
r
k = Proj k [t 0 , . . . , t n ]. Soit L un faisceau
inversible sur X. Rappelons qu’on dit que :
(i) L est tr` es ample si l’on a L ≃ i
∗ O P (1) pour une telle immersion ferm´ ee i, ce
qui signifie qu’il existe des sections globales s j ∈ Γ(X, L)(0 j r) d´ efinissant
une immersion ferm´ ee x −→ (s 0 (x), . . . , s r (x)) de X dans P ;
(ii) L est ample s’il existe n > 0 tel que L
⊗ n soit tr` es ample.
Supposons L ample. Alors, d’apr` es les th´ eor` emes de Serre ([H2] II 5.17, III 5.2) :
(a) pour tout faisceau coh´ erent E sur X, il existe un entier n 0 tel que, pour tout
n n 0 , E ⊗ L
⊗ n soit engendr´ e par un nombre fini de ses sections globales, i.e.
quotient de O
N
X pour N convenable ;
(a) pour tout faisceau coh´ erent E sur X, il existe un entier n 0 tel que, pour tout
n n 0 et tout i 1, on ait
H
i (X, E ⊗ L
⊗ n ) = 0.
Le th´ eor` eme qui suit est un analogue, en caract´ eristique p, du th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN] :
Th´ eor` eme 5.8. Soit k un corps de caract´ eristique p, et soit X un k-sch´ ema
projectif lisse. Soit L un faisceau inversible ample sur X. Alors, si X est purement
de dimension d < p (cf. 2.10) et se rel` eve sur W 2 (k), on a
H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/k ) = 0
pour i + j > d,
(5.8.1)
H
j (X, L
⊗−1 ⊗ Ω
i
X/k ) = 0
pour i + j < d.
(5.8.2)
C’est un corollaire de 5.5, dˆ u ` a Raynaud. La d´ emonstration est analogue ` a
celle de 5.6 ` a partir de 5.5. Tout d’abord, par le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre ([H2]
III 7.7, 7.12), si M est un faisceau inversible sur X, et si i+i
′ = d = j +j
′ , alors les
k-espaces vectoriels de dimension finie H
j (X, M ⊗Ω
i
X/k ) et H
j
′ (X, M
⊗−1 ⊗Ω
i
′
X/k )
sont canoniquement duaux. Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont donc ´ equivalentes.
Il sera plus commode de prouver (5.8.2). Par le th´ eor` eme d’annulation de Serre
(5.7 (b)), il existe n 0 tel que H
j (X, L
⊗ p
n ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout j > 0 et
tout i. Par dualit´ e de Serre, il s’ensuit que H
j (X, L
⊗−p
n ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout
j < d et tout i, et en particulier pour tout (i, j) tel que i + j < d. Proc´ edant par
r´ ecurrence descendante sur n, il suffit donc de prouver l’assertion suivante :
(∗) si M est un faisceau inversible sur X tel que H
j (X, M
⊗ p ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour
tout (i, j) tel que i + j < d, alors H
j (X, M ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout (i, j) tel
que i + j < d.
Notons, comme dans 5.1, X
′ le sch´ ema d´ eduit de X par le changement de base par
le Frobenius absolu de S = Spec k. Si F X d´ esigne le Frobenius absolu de X, on a
un isomorphisme canonique F
∗
X M ≃ M
⊗ p , induit par l’application m −→ m
⊗ p , et
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dans un espace projectif standard P = P
r
k = Proj k [t 0 , . . . , t n ]. Soit L un faisceau
inversible sur X. Rappelons qu’on dit que :
(i) L est tr` es ample si l’on a L ≃ i
∗ O P (1) pour une telle immersion ferm´ ee i, ce
qui signifie qu’il existe des sections globales s j ∈ Γ(X, L)(0 j r) d´ efinissant
une immersion ferm´ ee x −→ (s 0 (x), . . . , s r (x)) de X dans P ;
(ii) L est ample s’il existe n > 0 tel que L
⊗ n soit tr` es ample.
Supposons L ample. Alors, d’apr` es les th´ eor` emes de Serre ([H2] II 5.17, III 5.2) :
(a) pour tout faisceau coh´ erent E sur X, il existe un entier n 0 tel que, pour tout
n n 0 , E ⊗ L
⊗ n soit engendr´ e par un nombre fini de ses sections globales, i.e.
quotient de O
N
X pour N convenable ;
(a) pour tout faisceau coh´ erent E sur X, il existe un entier n 0 tel que, pour tout
n n 0 et tout i 1, on ait
H
i (X, E ⊗ L
⊗ n ) = 0.
Le th´ eor` eme qui suit est un analogue, en caract´ eristique p, du th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN] :
Th´ eor` eme 5.8. Soit k un corps de caract´ eristique p, et soit X un k-sch´ ema
projectif lisse. Soit L un faisceau inversible ample sur X. Alors, si X est purement
de dimension d < p (cf. 2.10) et se rel` eve sur W 2 (k), on a
H
j (X, L ⊗ Ω
i
X/k ) = 0
pour i + j > d,
(5.8.1)
H
j (X, L
⊗−1 ⊗ Ω
i
X/k ) = 0
pour i + j < d.
(5.8.2)
C’est un corollaire de 5.5, dˆ u ` a Raynaud. La d´ emonstration est analogue ` a
celle de 5.6 ` a partir de 5.5. Tout d’abord, par le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre ([H2]
III 7.7, 7.12), si M est un faisceau inversible sur X, et si i+i
′ = d = j +j
′ , alors les
k-espaces vectoriels de dimension finie H
j (X, M ⊗Ω
i
X/k ) et H
j
′ (X, M
⊗−1 ⊗Ω
i
′
X/k )
sont canoniquement duaux. Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont donc ´ equivalentes.
Il sera plus commode de prouver (5.8.2). Par le th´ eor` eme d’annulation de Serre
(5.7 (b)), il existe n 0 tel que H
j (X, L
⊗ p
n ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout j > 0 et
tout i. Par dualit´ e de Serre, il s’ensuit que H
j (X, L
⊗−p
n ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout
j < d et tout i, et en particulier pour tout (i, j) tel que i + j < d. Proc´ edant par
r´ ecurrence descendante sur n, il suffit donc de prouver l’assertion suivante :
(∗) si M est un faisceau inversible sur X tel que H
j (X, M
⊗ p ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour
tout (i, j) tel que i + j < d, alors H
j (X, M ⊗ Ω
i
X/k ) = 0 pour tout (i, j) tel
que i + j < d.
Notons, comme dans 5.1, X
′ le sch´ ema d´ eduit de X par le changement de base par
le Frobenius absolu de S = Spec k. Si F X d´ esigne le Frobenius absolu de X, on a
un isomorphisme canonique F
∗
X M ≃ M
⊗ p , induit par l’application m −→ m
⊗ p , et