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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Remarque 5.5.1. D’apr` es 5.3, si X est lisse sur Spec k et si X et F se rel` event
sur W 2 (k), alors F ∗ Ω
•
X/S est d´ ecomposable (et ce sans hypoth` ese de dimension sur
X). C’est le cas par exemple si X est affine. Par contre, si X est propre, il est rare
que X admette un rel` evement sur W 2 (k) o` u F se rel` eve. On peut montrer que si
X et F se rel` event, alors X est ordinaire, i.e. v´ erifie H
j (X, B
i Ω
•
X/S ) = 0 pour tout
(i, j) (cf. 8.6). La notion de vari´ et´ e ordinaire, qui n’a de sens qu’en caract´ eristique
non nulle, a d’abord ´ et´ e introduite pour les courbes et les vari´ et´ es ab´ eliennes. Elle
intervient dans d’assez nombreuses questions de g´ eom´ etrie arithm´ etique, voir [I4]
pour une introduction et quelques r´ ef´ erences.
Corollaire 5.6. Soit k un corps parfait de caract´ eristique p, et soit X un k-sch´ ema
propre et lisse, de dimension < p. Si X se rel` eve sur W 2 (k), la suite spectrale de
Hodge vers De Rham (4.8.3) de X sur k
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/k ) =⇒ H
∗
DR (X/k)
d´ eg´ en` ere en E 1 .
Grˆ ace ` a la compatibilit´ e des Ω
i au changement de base (1.3.2), l’isomorphisme
de Frobenius absolu F S : S −→ S (o` u S = Spec k) induit, pour tout (i, j), un
isomorphisme F
∗
S H
j (X, Ω
i
X/k )
∼
−→ H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k ), et en particulier, on a
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) = dim k H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k ).
D’autre part, comme F : X −→ X
′ est un hom´ eomorphisme, on a canoniquement,
pour tout n,
H
n (X
′ , F ∗ Ω
•
X/k )
∼
−→ H
n (X, Ω
•
X/k ) = H
n
DR (X/k).
Enfin, si X se rel` eve sur W 2 (k), une d´ ecomposition ϕ :
Ω
i
X ′ /S [−i]
∼
−→ F ∗ Ω
•
X/S
de F ∗ Ω
•
X/S dans D(X
′ ) induit, pour tout n, un isomorphisme
i+j=n
H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k )
∼
−→ H
n (X
′ , F ∗ Ω
•
X/k ).
Il en r´ esulte qu’on a, pour tout n,
i+j=n
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) = dim k H
n
DR (X/k),
et, d’apr` es 4.8, cela entraˆ ıne la d´ eg´ en´ erescence en E 1 de la suite spectrale de Hodge
vers De Rham.
5.7. Pour les rappels qui suivent, le lecteur pourra consulter [H2] II, III. Soient k
un anneau et X un k-sch´ ema projectif, i.e. admettant une k-immersion ferm´ ee i
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Remarque 5.5.1. D’apr` es 5.3, si X est lisse sur Spec k et si X et F se rel` event
sur W 2 (k), alors F ∗ Ω
•
X/S est d´ ecomposable (et ce sans hypoth` ese de dimension sur
X). C’est le cas par exemple si X est affine. Par contre, si X est propre, il est rare
que X admette un rel` evement sur W 2 (k) o` u F se rel` eve. On peut montrer que si
X et F se rel` event, alors X est ordinaire, i.e. v´ erifie H
j (X, B
i Ω
•
X/S ) = 0 pour tout
(i, j) (cf. 8.6). La notion de vari´ et´ e ordinaire, qui n’a de sens qu’en caract´ eristique
non nulle, a d’abord ´ et´ e introduite pour les courbes et les vari´ et´ es ab´ eliennes. Elle
intervient dans d’assez nombreuses questions de g´ eom´ etrie arithm´ etique, voir [I4]
pour une introduction et quelques r´ ef´ erences.
Corollaire 5.6. Soit k un corps parfait de caract´ eristique p, et soit X un k-sch´ ema
propre et lisse, de dimension < p. Si X se rel` eve sur W 2 (k), la suite spectrale de
Hodge vers De Rham (4.8.3) de X sur k
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/k ) =⇒ H
∗
DR (X/k)
d´ eg´ en` ere en E 1 .
Grˆ ace ` a la compatibilit´ e des Ω
i au changement de base (1.3.2), l’isomorphisme
de Frobenius absolu F S : S −→ S (o` u S = Spec k) induit, pour tout (i, j), un
isomorphisme F
∗
S H
j (X, Ω
i
X/k )
∼
−→ H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k ), et en particulier, on a
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) = dim k H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k ).
D’autre part, comme F : X −→ X
′ est un hom´ eomorphisme, on a canoniquement,
pour tout n,
H
n (X
′ , F ∗ Ω
•
X/k )
∼
−→ H
n (X, Ω
•
X/k ) = H
n
DR (X/k).
Enfin, si X se rel` eve sur W 2 (k), une d´ ecomposition ϕ :
Ω
i
X ′ /S [−i]
∼
−→ F ∗ Ω
•
X/S
de F ∗ Ω
•
X/S dans D(X
′ ) induit, pour tout n, un isomorphisme
i+j=n
H
j (X
′ , Ω
i
X ′ /k )
∼
−→ H
n (X
′ , F ∗ Ω
•
X/k ).
Il en r´ esulte qu’on a, pour tout n,
i+j=n
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) = dim k H
n
DR (X/k),
et, d’apr` es 4.8, cela entraˆ ıne la d´ eg´ en´ erescence en E 1 de la suite spectrale de Hodge
vers De Rham.
5.7. Pour les rappels qui suivent, le lecteur pourra consulter [H2] II, III. Soient k
un anneau et X un k-sch´ ema projectif, i.e. admettant une k-immersion ferm´ ee i