5. D´ ecomposition, d´ eg´ en´ erescence et annulation en car p > 0
143
comme la fl` eche de D(X
′ ) compos´ ee de ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) et de l’inverse de ε (4.2). Si
(U = (U i ) i∈I , (G i ) i∈I ) et (V = (V j ) j∈J , (G j ) j∈J ) sont deux choix de syst` emes
de rel` evements de Frobenius, la consid´ eration du recouvrement U ∐ V, index´ e par
I ∐ J, form´ e des U i et des V j , montre que ϕ
1
Z ′ ne d´ epend pas des choix (cf. [D-I]
p. 253). De plus, ϕ
1
Z ′ induit C
−1 sur H
1 : la question est en effet locale, donc
on peut supposer qu’on dispose d’un rel` evement global de F , et l’on applique 5.3.
Ceci ach` eve l’´ etape B.
Etape C. On fixe ` a nouveau un rel` evement Z
′ de X
′ . On montre comment
prolonger la d´ ecomposition de τ 1 F ∗ Ω
•
X/S d´ efinie par ϕ
i
Z ′ (i = 0, 1) en une
d´ ecomposition de τ •
X/S . On utilise pour cela la structure multiplicative du
complexe de De Rham. De ϕ
1
Z ′ on d´ eduit, pour tout i 1, une fl` eche de D(X
′ )
(ϕ
1
Z ′ )
L
⊗ i = ϕ
1
Z ′
L
⊗ · · ·
L
⊗ ϕ
1
Z ′ : (Ω
1
X ′ /S [−1])
L
⊗ i −→ (F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ i .
Comme Ω
1
X ′ /S est localement libre de type fini, on a (4.7 (a))
(∗)
(Ω
1
X ′ /S [−1])
L
⊗ i ≃ (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i [−i],
et de mˆ eme, comme les F ∗ Ω
a
X/S sont localement libres de type fini (3.3 (a)),
(∗∗)
(F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ i ≃ (F ∗ Ω
•
X/S )
⊗ i .
On d´ efinit alors, pour i < p,
ϕ
i
Z ′ : Ω
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
comme la compos´ ee (via (∗) et (∗∗)) de la fl` eche d’antisym´ etrisation standard
Ω
i
X ′ /S [−i] −→ (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i [−i],
ω 1 ∧ · · ·∧ ω i −→
1
i!
σ∈S i
sgn(σ)ω σ(1) ∧ · · ·∧ ω σ(i)
(bien d´ efinie ` a cause de l’hypoth` ese i < p), de la fl` eche (ϕ
1
Z ′ )
L
⊗ i , et de la fl` eche
de produit (F ∗ Ω
•
X/S )
⊗ i −→ F ∗ Ω
•
X/S . Comme la fl` eche d’antisym´ etrisation est une
section de la projection de (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i sur Ω
i
X ′ /S , la propri´ et´ e multiplicative de
l’isomorphisme de Cartier entraˆ ıne que ϕ
i
Z ′ induit C
−1 sur H
i , et cela ach` eve la
d´ emonstration du th´ eor` eme.
Compte tenu de 3.9, on en d´ eduit :
Corollaire 5.5. Soit k un corps parfait de caract´ eristique p, et soit X un sch´ ema
lisse sur S = Spec k. Si X se rel` eve sur T = Spec W 2 (k), alors τ •
X/S est
d´ ecomposable dans D(X
′ ). Si de plus X est de dimension < p, F ∗ Ω
•
X/S est
d´ ecomposable.
143
comme la fl` eche de D(X
′ ) compos´ ee de ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) et de l’inverse de ε (4.2). Si
(U = (U i ) i∈I , (G i ) i∈I ) et (V = (V j ) j∈J , (G j ) j∈J ) sont deux choix de syst` emes
de rel` evements de Frobenius, la consid´ eration du recouvrement U ∐ V, index´ e par
I ∐ J, form´ e des U i et des V j , montre que ϕ
1
Z ′ ne d´ epend pas des choix (cf. [D-I]
p. 253). De plus, ϕ
1
Z ′ induit C
−1 sur H
1 : la question est en effet locale, donc
on peut supposer qu’on dispose d’un rel` evement global de F , et l’on applique 5.3.
Ceci ach` eve l’´ etape B.
Etape C. On fixe ` a nouveau un rel` evement Z
′ de X
′ . On montre comment
prolonger la d´ ecomposition de τ 1 F ∗ Ω
•
X/S d´ efinie par ϕ
i
Z ′ (i = 0, 1) en une
d´ ecomposition de τ •
X/S . On utilise pour cela la structure multiplicative du
complexe de De Rham. De ϕ
1
Z ′ on d´ eduit, pour tout i 1, une fl` eche de D(X
′ )
(ϕ
1
Z ′ )
L
⊗ i = ϕ
1
Z ′
L
⊗ · · ·
L
⊗ ϕ
1
Z ′ : (Ω
1
X ′ /S [−1])
L
⊗ i −→ (F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ i .
Comme Ω
1
X ′ /S est localement libre de type fini, on a (4.7 (a))
(∗)
(Ω
1
X ′ /S [−1])
L
⊗ i ≃ (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i [−i],
et de mˆ eme, comme les F ∗ Ω
a
X/S sont localement libres de type fini (3.3 (a)),
(∗∗)
(F ∗ Ω
•
X/S )
L
⊗ i ≃ (F ∗ Ω
•
X/S )
⊗ i .
On d´ efinit alors, pour i < p,
ϕ
i
Z ′ : Ω
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
comme la compos´ ee (via (∗) et (∗∗)) de la fl` eche d’antisym´ etrisation standard
Ω
i
X ′ /S [−i] −→ (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i [−i],
ω 1 ∧ · · ·∧ ω i −→
1
i!
σ∈S i
sgn(σ)ω σ(1) ∧ · · ·∧ ω σ(i)
(bien d´ efinie ` a cause de l’hypoth` ese i < p), de la fl` eche (ϕ
1
Z ′ )
L
⊗ i , et de la fl` eche
de produit (F ∗ Ω
•
X/S )
⊗ i −→ F ∗ Ω
•
X/S . Comme la fl` eche d’antisym´ etrisation est une
section de la projection de (Ω
1
X ′ /S )
⊗ i sur Ω
i
X ′ /S , la propri´ et´ e multiplicative de
l’isomorphisme de Cartier entraˆ ıne que ϕ
i
Z ′ induit C
−1 sur H
i , et cela ach` eve la
d´ emonstration du th´ eor` eme.
Compte tenu de 3.9, on en d´ eduit :
Corollaire 5.5. Soit k un corps parfait de caract´ eristique p, et soit X un sch´ ema
lisse sur S = Spec k. Si X se rel` eve sur T = Spec W 2 (k), alors τ •
X/S est
d´ ecomposable dans D(X
′ ). Si de plus X est de dimension < p, F ∗ Ω
•
X/S est
d´ ecomposable.