142
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
f i = ϕ
1
G i : Ω
1
X ′ /S |U i
[−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S |U i
13
de (5.3.1), et pour chaque couple (i, j), de l’homomorphisme
h ij = h(G i |U ij , G j |U ij ) : Ω
1
X ′ /S |U ij
−→ F ∗ O X |U ij
de (5.4.1), o` u U ij = U i ∩ U j . Ces donn´ ees sont reli´ ees par
f j − f i = dh ij (sur U ij ),
h ij + h jk = h ik
(sur U ijk = U i ∩ U j ∩ U k ).
Elles permettent de d´ efinir un homomorphisme de complexes de O X ′ -modules
ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ),
o` u ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ) est le complexe simple associ´ e au bicomplexe de ˇ
Cech du
recouvrement U ` a valeurs dans F ∗ Ω
•
X/S . Ce complexe a pour composantes
ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S )
n =
a+b=n
ˇ
C
b (U, F ∗ Ω
a
X/S )
et pour diff´ erentielle d = d 1 + d 2 , o` u d 1 est induite par la diff´ erentielle du complexe
de De Rham et d 2 est, en bidegr´ e (a, b), ´ egale ` a (−1)
a (
(−1)
i ∂
i ) (voir [G] 5.2 ou
[H2] III 4.2). En particulier,
ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S )
1 = ˇ
C
1 (U, F ∗ O X ) ⊕ ˇ
C
0 (U, F ∗ Ω
1
X/S ).
Le morphisme ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) est d´ efini comme ayant pour composantes (ϕ 1 , ϕ 2 ) en
degr´ e 1, avec
(ϕ 1 ω)(i, j) = h ij (ω) |U ij ,
(ϕ 2 ω)(i) = f i (ω) |U i .
Utilisant le fait que les f i sont des morphismes de complexes et les formules supra
reliant les f i et les h ij , on v´ erifie que ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) ainsi d´ efini est bien un morphisme
de complexes. On dispose d’autre part de l’augmentation naturelle
ε : F ∗ Ω
•
X/S −→ ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ),
qui est un quasi-isomorphisme, car, pour tout a, le complexe ˇ
C(U, F ∗ Ω
a
X/S ) est une
r´ esolution de F ∗ Ω
a
X/S (cf. [Go] ou [H2] loc. cit.). On d´ efinit alors
ϕ
1
Z ′ : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
13 On identifie les espaces sous-jacents `
a X et X ′ au moyen de F (3.1).
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
f i = ϕ
1
G i : Ω
1
X ′ /S |U i
[−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S |U i
13
de (5.3.1), et pour chaque couple (i, j), de l’homomorphisme
h ij = h(G i |U ij , G j |U ij ) : Ω
1
X ′ /S |U ij
−→ F ∗ O X |U ij
de (5.4.1), o` u U ij = U i ∩ U j . Ces donn´ ees sont reli´ ees par
f j − f i = dh ij (sur U ij ),
h ij + h jk = h ik
(sur U ijk = U i ∩ U j ∩ U k ).
Elles permettent de d´ efinir un homomorphisme de complexes de O X ′ -modules
ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ),
o` u ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ) est le complexe simple associ´ e au bicomplexe de ˇ
Cech du
recouvrement U ` a valeurs dans F ∗ Ω
•
X/S . Ce complexe a pour composantes
ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S )
n =
a+b=n
ˇ
C
b (U, F ∗ Ω
a
X/S )
et pour diff´ erentielle d = d 1 + d 2 , o` u d 1 est induite par la diff´ erentielle du complexe
de De Rham et d 2 est, en bidegr´ e (a, b), ´ egale ` a (−1)
a (
(−1)
i ∂
i ) (voir [G] 5.2 ou
[H2] III 4.2). En particulier,
ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S )
1 = ˇ
C
1 (U, F ∗ O X ) ⊕ ˇ
C
0 (U, F ∗ Ω
1
X/S ).
Le morphisme ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) est d´ efini comme ayant pour composantes (ϕ 1 , ϕ 2 ) en
degr´ e 1, avec
(ϕ 1 ω)(i, j) = h ij (ω) |U ij ,
(ϕ 2 ω)(i) = f i (ω) |U i .
Utilisant le fait que les f i sont des morphismes de complexes et les formules supra
reliant les f i et les h ij , on v´ erifie que ϕ
1
Z ′ ,(U,(G i )) ainsi d´ efini est bien un morphisme
de complexes. On dispose d’autre part de l’augmentation naturelle
ε : F ∗ Ω
•
X/S −→ ˇ
C(U, F ∗ Ω
•
X/S ),
qui est un quasi-isomorphisme, car, pour tout a, le complexe ˇ
C(U, F ∗ Ω
a
X/S ) est une
r´ esolution de F ∗ Ω
a
X/S (cf. [Go] ou [H2] loc. cit.). On d´ efinit alors
ϕ
1
Z ′ : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
13 On identifie les espaces sous-jacents `
a X et X ′ au moyen de F (3.1).