5. D´ ecomposition, d´ eg´ en´ erescence et annulation en car p > 0
141
est l’homomorphisme “G
∗ /p” d´ efini en 3.8 (c) ; pour i 1, ϕ
i
G est compos´ e de
Λ
i ϕ
1
G et du produit Λ
i F ∗ Ω
1
X/S −→ F ∗ Ω
i
X/S . Alors ϕ G est un quasi-isomorphisme,
induisant l’isomorphisme de Cartier C
−1 sur H
i pour tout i.
C’est imm´ ediat.
Etape B. C’est l’´ etape principale. On montre que la donn´ ee d’un rel` evement
Z
′ de X
′ sur T permet de d´ efinir une d´ ecomposition de τ 1 F ∗ Ω
•
X/S , i.e. un
homomorphisme
ϕ
1
Z ′ : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
de D(X
′ ) (et non C(X
′ )) induisant C
−1 sur H
1 . On a besoin, pour ce faire, de
comparer les homomorphismes ϕ
1
G de (5.3.1) associ´ es ` a divers rel` evement de F de
but Z
′ .
Lemme 5.4. A tout couple (G 1 : Z 1 −→ Z
′ , G 2 : Z 2 −→ Z
′ ) de rel` evements de
F est associ´ e canoniquement un homomorphisme
(5.4.1)
h(G 1 , G 2 ) : Ω
1
X ′ /S −→ F ∗ O X
tel que ϕ
1
G 2
− ϕ
1
G 1
= dh(G 1 , G 2 ). Si G 3 : Z 3 −→ Z
′ est un troisi` eme rel` evement de
F , on a
(5.4.2)
h(G 1 , G 2 ) + h(G 2 , G 3 ) = h(G 1 , G 3 ).
Supposons d’abord que Z 1 et Z 2 soient isomorphes (au sens de 2.12 (b)).
Choisissons un isomorphisme u : Z 1
∼
−→ Z 2 . Alors G 2 u et G 1 rel` event F , i.e.
prolongent ` a Z 1 le compos´ e X
F
−→ Z ֒−→ Z
′ , donc, d’apr` es 2.11 (b), diff` erent
par un homomorphisme h u de F
∗ Ω
1
X ′ /S dans O X , ou ce qui revient au mˆ eme, de
Ω
1
X ′ /S dans F ∗ O X . Si v est un second isomorphisme de Z 1 sur Z 2 , alors, compte
tenu de 3.4 (a), il r´ esulte de 2.11 (b) que u et v diff` erent par un homomorphisme
“u − v” : Ω
1
X/S −→ O X , donc G 2 u et G 2 v diff` erent par le compos´ e de “u − v” et
l’homomorphisme F
∗ Ω
1
X ′ /S −→ Ω
1
X/S , qui est nul, donc G 2 u = G 2 v. Donc h u ne
d´ epend pas du choix de u. Comme Z 1 et Z 2 sont localement isomorphes d’apr` es
2.11 (a), on en d´ eduit un homomorphisme (5.4.1) caract´ eris´ e par la propri´ et´ e
que si u est un isomorphisme de Z 1 sur Z 2 au dessus d’un ouvert U de X
(rappelons encore que Z 1 , Z 2 et X ont mˆ eme espace sous-jacent), la restriction de
h(G 1 , G 2 ) ` a U est l’homomorphisme h u , “diff´ erence” entre G 1 et G 2 u. La formule
ϕ
1
G 2
−ϕ
1
G 1
= dh(G 1 , G 2 ) r´ esulte de la description explicite de ϕ
1
G donn´ ee en (3.8.1),
et la formule (5.4.2) est imm´ ediate.
Fixons maintenant le rel` evement Z
′ de X
′ sur T . D’apr` es 2.11 (a) et 2.12 (a),
on peut choisir un recouvrement ouvert U = (U i ) i∈I de X de telle mani` ere qu’on
ait, pour chaque i, un rel` evement Z i de U i sur T et un rel` evement G i : Z i −→ Z
′
de F |U i . On dispose alors, pour chaque i, de l’homomorphisme de complexes
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est l’homomorphisme “G
∗ /p” d´ efini en 3.8 (c) ; pour i 1, ϕ
i
G est compos´ e de
Λ
i ϕ
1
G et du produit Λ
i F ∗ Ω
1
X/S −→ F ∗ Ω
i
X/S . Alors ϕ G est un quasi-isomorphisme,
induisant l’isomorphisme de Cartier C
−1 sur H
i pour tout i.
C’est imm´ ediat.
Etape B. C’est l’´ etape principale. On montre que la donn´ ee d’un rel` evement
Z
′ de X
′ sur T permet de d´ efinir une d´ ecomposition de τ 1 F ∗ Ω
•
X/S , i.e. un
homomorphisme
ϕ
1
Z ′ : Ω
1
X ′ /S [−1] −→ F ∗ Ω
•
X/S
de D(X
′ ) (et non C(X
′ )) induisant C
−1 sur H
1 . On a besoin, pour ce faire, de
comparer les homomorphismes ϕ
1
G de (5.3.1) associ´ es ` a divers rel` evement de F de
but Z
′ .
Lemme 5.4. A tout couple (G 1 : Z 1 −→ Z
′ , G 2 : Z 2 −→ Z
′ ) de rel` evements de
F est associ´ e canoniquement un homomorphisme
(5.4.1)
h(G 1 , G 2 ) : Ω
1
X ′ /S −→ F ∗ O X
tel que ϕ
1
G 2
− ϕ
1
G 1
= dh(G 1 , G 2 ). Si G 3 : Z 3 −→ Z
′ est un troisi` eme rel` evement de
F , on a
(5.4.2)
h(G 1 , G 2 ) + h(G 2 , G 3 ) = h(G 1 , G 3 ).
Supposons d’abord que Z 1 et Z 2 soient isomorphes (au sens de 2.12 (b)).
Choisissons un isomorphisme u : Z 1
∼
−→ Z 2 . Alors G 2 u et G 1 rel` event F , i.e.
prolongent ` a Z 1 le compos´ e X
F
−→ Z ֒−→ Z
′ , donc, d’apr` es 2.11 (b), diff` erent
par un homomorphisme h u de F
∗ Ω
1
X ′ /S dans O X , ou ce qui revient au mˆ eme, de
Ω
1
X ′ /S dans F ∗ O X . Si v est un second isomorphisme de Z 1 sur Z 2 , alors, compte
tenu de 3.4 (a), il r´ esulte de 2.11 (b) que u et v diff` erent par un homomorphisme
“u − v” : Ω
1
X/S −→ O X , donc G 2 u et G 2 v diff` erent par le compos´ e de “u − v” et
l’homomorphisme F
∗ Ω
1
X ′ /S −→ Ω
1
X/S , qui est nul, donc G 2 u = G 2 v. Donc h u ne
d´ epend pas du choix de u. Comme Z 1 et Z 2 sont localement isomorphes d’apr` es
2.11 (a), on en d´ eduit un homomorphisme (5.4.1) caract´ eris´ e par la propri´ et´ e
que si u est un isomorphisme de Z 1 sur Z 2 au dessus d’un ouvert U de X
(rappelons encore que Z 1 , Z 2 et X ont mˆ eme espace sous-jacent), la restriction de
h(G 1 , G 2 ) ` a U est l’homomorphisme h u , “diff´ erence” entre G 1 et G 2 u. La formule
ϕ
1
G 2
−ϕ
1
G 1
= dh(G 1 , G 2 ) r´ esulte de la description explicite de ϕ
1
G donn´ ee en (3.8.1),
et la formule (5.4.2) est imm´ ediate.
Fixons maintenant le rel` evement Z
′ de X
′ sur T . D’apr` es 2.11 (a) et 2.12 (a),
on peut choisir un recouvrement ouvert U = (U i ) i∈I de X de telle mani` ere qu’on
ait, pour chaque i, un rel` evement Z i de U i sur T et un rel` evement G i : Z i −→ Z
′
de F |U i . On dispose alors, pour chaque i, de l’homomorphisme de complexes