140
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
que les groupes de cohomologie de de Rham H
n
DR (X/k) sont aussi de dimension
finie sur k. De plus, pour chaque n, on a
(4.8.4)
i+j=n
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) dim k H
n
DR (X/k),
avec ´ egalit´ e pour tout n si et seulement si la suite spectrale de Hodge vers De
Rham de X sur k d´ eg´ en` ere en E 1 , i.e. est de diff´ erentielle d r nulle pour tout r 1.
5. Th´ eor` emes de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et
d’annulation en caract´ eristique p > 0
Dans ce num´ ero, comme au n
◦ 3, p d´ esigne un nombre premier fix´ e.
Le r´ esultat principal est le th´ eor` eme suivant ([D-I] 2.1, 3.7) :
Th´ eor` eme 5.1. Soit S un sch´ ema de caract´ eristique p. Supposons donn´ e un
rel` evement (plat) T de S sur Z/p
2 Z (3.7). Soit X un S-sch´ ema lisse ; notons,
comme en 3.1, F : X −→ X
′ le Frobenius relatif de X/S. Alors, si X
′ admet
un rel` evement (lisse) sur T , le complexe de O X ′ -modules τ •
X/S (4.1) est
d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
′ ) des O X ′ -modules (4.6).
5.2. Avant d’aborder la d´ emonstration, notons qu’une d´ ecomposition de τ
•
X/S ´ equivaut ` a la donn´ ee d’une fl` eche de D(X
′ )
i
i F ∗ Ω
•
X/S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
induisant l’identit´ e sur H
i pour tout i < p. D’apr` es le th´ eor` eme de Cartier (3.5),
cette donn´ ee ´ equivaut encore ` a celle d’une fl` eche de D(X
′ )
(5.2.1)
ϕ :
i
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
induisant C
−1 sur H
i pour tout i < p. La d´ emonstration consiste en fait ` a associer
canoniquement une telle fl` eche ϕ ` a chaque rel` evement de X
′ sur T . Elle comprend
trois ´ etapes.
Etape A. On commence par traiter le cas o` u F admet un rel` evement global.
Proposition 5.3. Sous les hypoth` eses de 5.1, supposons que F : X −→ X
′
admette un rel` evement global G : Z −→ Z
′ , o` u Z (resp. Z
′ ) rel` eve X (resp. X
′ )
sur T . Soit
(5.3.1)
ϕ G :
Ω
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme de complexes, de i-i` eme composante ϕ
i
G , d´ efini de la mani` ere
suivante :
ϕ
0
G = F
∗ : O X −→ F ∗ O X ;
ϕ
1
G : Ω
1
X ′ /S −→ F ∗ Ω
1
X/S
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
que les groupes de cohomologie de de Rham H
n
DR (X/k) sont aussi de dimension
finie sur k. De plus, pour chaque n, on a
(4.8.4)
i+j=n
dim k H
j (X, Ω
i
X/k ) dim k H
n
DR (X/k),
avec ´ egalit´ e pour tout n si et seulement si la suite spectrale de Hodge vers De
Rham de X sur k d´ eg´ en` ere en E 1 , i.e. est de diff´ erentielle d r nulle pour tout r 1.
5. Th´ eor` emes de d´ ecomposition, de d´ eg´ en´ erescence et
d’annulation en caract´ eristique p > 0
Dans ce num´ ero, comme au n
◦ 3, p d´ esigne un nombre premier fix´ e.
Le r´ esultat principal est le th´ eor` eme suivant ([D-I] 2.1, 3.7) :
Th´ eor` eme 5.1. Soit S un sch´ ema de caract´ eristique p. Supposons donn´ e un
rel` evement (plat) T de S sur Z/p
2 Z (3.7). Soit X un S-sch´ ema lisse ; notons,
comme en 3.1, F : X −→ X
′ le Frobenius relatif de X/S. Alors, si X
′ admet
un rel` evement (lisse) sur T , le complexe de O X ′ -modules τ •
X/S (4.1) est
d´ ecomposable dans la cat´ egorie d´ eriv´ ee D(X
′ ) des O X ′ -modules (4.6).
5.2. Avant d’aborder la d´ emonstration, notons qu’une d´ ecomposition de τ
•
X/S ´ equivaut ` a la donn´ ee d’une fl` eche de D(X
′ )
i
i F ∗ Ω
•
X/S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
induisant l’identit´ e sur H
i pour tout i < p. D’apr` es le th´ eor` eme de Cartier (3.5),
cette donn´ ee ´ equivaut encore ` a celle d’une fl` eche de D(X
′ )
(5.2.1)
ϕ :
i
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
induisant C
−1 sur H
i pour tout i < p. La d´ emonstration consiste en fait ` a associer
canoniquement une telle fl` eche ϕ ` a chaque rel` evement de X
′ sur T . Elle comprend
trois ´ etapes.
Etape A. On commence par traiter le cas o` u F admet un rel` evement global.
Proposition 5.3. Sous les hypoth` eses de 5.1, supposons que F : X −→ X
′
admette un rel` evement global G : Z −→ Z
′ , o` u Z (resp. Z
′ ) rel` eve X (resp. X
′ )
sur T . Soit
(5.3.1)
ϕ G :
Ω
i
X ′ /S [−i] −→ F ∗ Ω
•
X/S
l’homomorphisme de complexes, de i-i` eme composante ϕ
i
G , d´ efini de la mani` ere
suivante :
ϕ
0
G = F
∗ : O X −→ F ∗ O X ;
ϕ
1
G : Ω
1
X ′ /S −→ F ∗ Ω
1
X/S