4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales
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(d) pour f : X −→ Y et F ∈ ob D
− (Y ), Lf
∗ F ≃ f
∗ F
′ si F ≃ F
′ , avec F
′ ` a degr´ es
born´ es sup´ erieurement et ` a composantes plates.
4.8. Les suites spectrales sont peut-ˆ etre l’un des objets ` a la fois les plus effrayants
et les plus utiles des math´ ematiques. Les cat´ egories d´ eriv´ ees permettent parfois de
s’en passer, mais elles restent indispensables. Il existe de nombreuses r´ ef´ erences, la
plus ancienne ([C-E], XV) restant l’une des meilleures. Dans ces notes, nous nous
int´ eresserons surtout ` a la suite spectrale dite de Hodge vers De Rham, dont nous
allons rappeler la d´ efinition.
Soit T : A −→ B un foncteur additif entre cat´ egories ab´ eliennes. Supposons
que A poss` ede suffisamment d’injectifs. Alors T admet un d´ eriv´ e droit
RT : D
+ (A) −→ D
+ (B),
qui se calcule par RT (K) ≃ T (K
′ ) si K −→ K
′ est un quasi-isomorphisme
avec K
′ ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement et ` a composantes injectives. Les objets
de cohomologie H
i ◦ RT : D
+ (A) −→ B sont not´ es R
i T . Pour K ∈ ob D(A), ` a
degr´ es born´ es inf´ erieurement, on a une suite spectrale
(4.8.1)
E
i j
1 = R
j T (K
i ) =⇒ R
∗ T (K),
dite premi` ere suite spectrale d’hypercohomologie de T . Elle s’obtient de la fa¸ con
suivante : on choisit une r´ esolution K −→ L de K par un bicomplexe L, telle que
chaque colonne L
i • soit une r´ esolution injective de K
i ; si sL d´ esigne le complexe
simple associ´ e, l’homomorphisme de complexes K −→ sL qui s’en d´ eduit est un
quasi-isomorphisme, donc RT (K) ≃ T (sL) = sT (L), RT (K
i ) ≃ T (L
i • ), et la
filtration de sT (L) par le premier degr´ e de L donne naissance ` a (4.8.1).
Soient k un corps et X un k-sch´ ema. Le groupe (cf. (1.7.1) et 4.7 (c))
(4.8.2)
H
i
DR (X/k) = H
i (X, Ω
•
X/k ) = Γ(Spec k, R
i f ∗ (Ω
•
X/k ))
(o` u f : X −→ Spec k est le morphisme structural) s’appelle i-i` eme groupe de
cohomologie de De Rham de X/k. C’est un k-espace vectoriel. La suite spectrale
(4.8.1) relative au foncteur Γ(X, •) et au complexe Ω
•
X/k s’appelle suite spectrale
de Hodge vers De Rham de X/k :
(4.8.3)
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/k ) =⇒ H
∗
DR (X/k).
C’est une suite spectrale de k-espaces vectoriels. Les groupes H
j (X, Ω
i
X/k )
s’appellent groupes de cohomologie de Hodge de X sur k. Si X est propre sur k
([H2] II 4) (par exemple, projectif sur k, i.e. sous-sch´ ema ferm´ e d’un espace projectif P
n
k ), comme les Ω
i
X/k sont des faisceaux coh´ erents (2.1), le th´ eor` eme de finitude
de Serre-Grothendieck ([H2] III 5.2 dans le cas projectif, (EGA III 3) dans le cas
g´ en´ eral) implique que les groupes de cohomologie de Hodge de X sur k sont des
k-espaces vectoriels de dimension finie. Par la suite spectrale (4.8.3), il en r´ esulte
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(d) pour f : X −→ Y et F ∈ ob D
− (Y ), Lf
∗ F ≃ f
∗ F
′ si F ≃ F
′ , avec F
′ ` a degr´ es
born´ es sup´ erieurement et ` a composantes plates.
4.8. Les suites spectrales sont peut-ˆ etre l’un des objets ` a la fois les plus effrayants
et les plus utiles des math´ ematiques. Les cat´ egories d´ eriv´ ees permettent parfois de
s’en passer, mais elles restent indispensables. Il existe de nombreuses r´ ef´ erences, la
plus ancienne ([C-E], XV) restant l’une des meilleures. Dans ces notes, nous nous
int´ eresserons surtout ` a la suite spectrale dite de Hodge vers De Rham, dont nous
allons rappeler la d´ efinition.
Soit T : A −→ B un foncteur additif entre cat´ egories ab´ eliennes. Supposons
que A poss` ede suffisamment d’injectifs. Alors T admet un d´ eriv´ e droit
RT : D
+ (A) −→ D
+ (B),
qui se calcule par RT (K) ≃ T (K
′ ) si K −→ K
′ est un quasi-isomorphisme
avec K
′ ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement et ` a composantes injectives. Les objets
de cohomologie H
i ◦ RT : D
+ (A) −→ B sont not´ es R
i T . Pour K ∈ ob D(A), ` a
degr´ es born´ es inf´ erieurement, on a une suite spectrale
(4.8.1)
E
i j
1 = R
j T (K
i ) =⇒ R
∗ T (K),
dite premi` ere suite spectrale d’hypercohomologie de T . Elle s’obtient de la fa¸ con
suivante : on choisit une r´ esolution K −→ L de K par un bicomplexe L, telle que
chaque colonne L
i • soit une r´ esolution injective de K
i ; si sL d´ esigne le complexe
simple associ´ e, l’homomorphisme de complexes K −→ sL qui s’en d´ eduit est un
quasi-isomorphisme, donc RT (K) ≃ T (sL) = sT (L), RT (K
i ) ≃ T (L
i • ), et la
filtration de sT (L) par le premier degr´ e de L donne naissance ` a (4.8.1).
Soient k un corps et X un k-sch´ ema. Le groupe (cf. (1.7.1) et 4.7 (c))
(4.8.2)
H
i
DR (X/k) = H
i (X, Ω
•
X/k ) = Γ(Spec k, R
i f ∗ (Ω
•
X/k ))
(o` u f : X −→ Spec k est le morphisme structural) s’appelle i-i` eme groupe de
cohomologie de De Rham de X/k. C’est un k-espace vectoriel. La suite spectrale
(4.8.1) relative au foncteur Γ(X, •) et au complexe Ω
•
X/k s’appelle suite spectrale
de Hodge vers De Rham de X/k :
(4.8.3)
E
i j
1 = H
j (X, Ω
i
X/k ) =⇒ H
∗
DR (X/k).
C’est une suite spectrale de k-espaces vectoriels. Les groupes H
j (X, Ω
i
X/k )
s’appellent groupes de cohomologie de Hodge de X sur k. Si X est propre sur k
([H2] II 4) (par exemple, projectif sur k, i.e. sous-sch´ ema ferm´ e d’un espace projectif P
n
k ), comme les Ω
i
X/k sont des faisceaux coh´ erents (2.1), le th´ eor` eme de finitude
de Serre-Grothendieck ([H2] III 5.2 dans le cas projectif, (EGA III 3) dans le cas
g´ en´ eral) implique que les groupes de cohomologie de Hodge de X sur k sont des
k-espaces vectoriels de dimension finie. Par la suite spectrale (4.8.3), il en r´ esulte