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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(dans D(A)). Inversement, si L v´ erifie (4.6.1), L est trivialement d´ ecomposable. Si
L est d´ ecomposable, on appelle d´ ecomposition de L le choix d’un isomorphisme
(4.6.1) induisant l’identit´ e sur H
i pour tout i. Il existe une suite finie d’obstructions
` a la d´ ecomposabilit´ e de L : les premi` eres sont les classes c i (4.5.1) ; si les c i sont
nulles, il y a des obstructions secondaires dans Ext
3 (H
i L, H
i−2 L), etc. D’autre
part, si L est d´ ecomposable, L admet en g´ en´ eral plusieurs d´ ecompositions.
Au num´ ero suivant, on s’int´ eressera surtout au cas o` u L est concentr´ e en degr´ es
0 et 1 : L = (L
0 −→ L
1 ). Dans ce cas :
(a) la classe c 1 ∈ Ext
2 (H
1 L, H
0 L) est l’obstruction ` a la d´ ecomposabilit´ e de L ;
(b) la donn´ ee d’une d´ ecomposition de L ´ equivaut ` a celle d’un morphisme
H
1 L[−1] −→ L induisant l’identit´ e sur H
1 ;
(c) L’ensemble des d´ ecompositions de L est un espace affine sous Ext
1 (H
1 L, H
0 L)
([D-I] 3.1).
4.7. Nous renvoyons par exemple ` a [H1], II pour la d´ efinition des foncteurs d´ eriv´ es
L
⊗, R Hom
12 , R Hom, Rf ∗ , Lf
∗ , RΓ dans les cat´ egories d´ eriv´ ees D(X), o` u X
est un sch´ ema variable, et la description de certaines relations remarquables entre
ces foncteurs. Rappelons seulement que ces foncteurs sont, par rapport ` a chaque
argument, des foncteurs exacts, i.e. transforment triangles distingu´ es en triangles
distingu´ es, et se “calculent” de la mani` ere suivante :
(a) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D
− (X), E
L
⊗ F ≃ E⊗F
′ si F ≃ F
′ dans D(X), avec
F
′ ` a degr´ es born´ es sup´ erieurement (4.1) et ` a composantes plates ; pour F donn´ e,
il existe un quasi-isomorphisme F
′ −→ F avec F
′ du type pr´ ec´ edent, les classes
d’homotopie de tels quasi-isomorphismes forment d’ailleurs un syst` eme coinitial
(dans la cat´ egorie des classes de quasi-isomorphismes de but F , cf. 4.2) ;
(b) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D
+ (X), si F ≃ F
′ , avec F
′ ` a degr´ es born´ es
inf´ erieurement et ` a composantes injectives, alors R Hom(E, F ) ≃ Hom
• (E, F
′ )
et R Hom(E, F ) ≃ Hom
• (E, F
′ ) ; pour F donn´ e, il existe un quasi-isomorphisme
F −→ F’ avec F’ du type pr´ ec´ edent (et les classes d’homotopie de tels quasiisomorphismes forment un syst` eme cofinal) ;
(c) pour f : X −→ Y et E ∈ ob D
+ (X), si E ≃ E
′ , avec E
′ ` a degr´ es
born´ es inf´ erieurement et ` a composantes flasques (par exemple, injectives), alors
Rf ∗ E ≃ f ∗ E
′ et RΓ(X, E) ≃ Γ(X, E
′ ) ; on ´ ecrit simplement H
i (X, E) au
lieu de H
i RΓ(X, E) ; on d´ efinit plus g´ en´ eralement, de la mˆ eme fa¸ con, Rf ∗ :
D
+ (X, f
−1 (O Y )) −→ D
+ (Y ), o` u D(X, f
−1 (O Y )) d´ esigne la cat´ egorie d´ eriv´ ee de
la cat´ egorie des complexes de f
−1 (O Y )-modules (le complexe de de Rham Ω
•
X/Y
est un tel complexe) ;
12 Une erreur de signe s’est gliss´ ee dans la d´ efinition du complexe Hom
• (L, M) dans [H1] p. 64 :
pour u ∈ Hom(L i , M i+n ), il faut lire du = d ◦ u + (−1) n+1 u ◦ d.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(dans D(A)). Inversement, si L v´ erifie (4.6.1), L est trivialement d´ ecomposable. Si
L est d´ ecomposable, on appelle d´ ecomposition de L le choix d’un isomorphisme
(4.6.1) induisant l’identit´ e sur H
i pour tout i. Il existe une suite finie d’obstructions
` a la d´ ecomposabilit´ e de L : les premi` eres sont les classes c i (4.5.1) ; si les c i sont
nulles, il y a des obstructions secondaires dans Ext
3 (H
i L, H
i−2 L), etc. D’autre
part, si L est d´ ecomposable, L admet en g´ en´ eral plusieurs d´ ecompositions.
Au num´ ero suivant, on s’int´ eressera surtout au cas o` u L est concentr´ e en degr´ es
0 et 1 : L = (L
0 −→ L
1 ). Dans ce cas :
(a) la classe c 1 ∈ Ext
2 (H
1 L, H
0 L) est l’obstruction ` a la d´ ecomposabilit´ e de L ;
(b) la donn´ ee d’une d´ ecomposition de L ´ equivaut ` a celle d’un morphisme
H
1 L[−1] −→ L induisant l’identit´ e sur H
1 ;
(c) L’ensemble des d´ ecompositions de L est un espace affine sous Ext
1 (H
1 L, H
0 L)
([D-I] 3.1).
4.7. Nous renvoyons par exemple ` a [H1], II pour la d´ efinition des foncteurs d´ eriv´ es
L
⊗, R Hom
12 , R Hom, Rf ∗ , Lf
∗ , RΓ dans les cat´ egories d´ eriv´ ees D(X), o` u X
est un sch´ ema variable, et la description de certaines relations remarquables entre
ces foncteurs. Rappelons seulement que ces foncteurs sont, par rapport ` a chaque
argument, des foncteurs exacts, i.e. transforment triangles distingu´ es en triangles
distingu´ es, et se “calculent” de la mani` ere suivante :
(a) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D
− (X), E
L
⊗ F ≃ E⊗F
′ si F ≃ F
′ dans D(X), avec
F
′ ` a degr´ es born´ es sup´ erieurement (4.1) et ` a composantes plates ; pour F donn´ e,
il existe un quasi-isomorphisme F
′ −→ F avec F
′ du type pr´ ec´ edent, les classes
d’homotopie de tels quasi-isomorphismes forment d’ailleurs un syst` eme coinitial
(dans la cat´ egorie des classes de quasi-isomorphismes de but F , cf. 4.2) ;
(b) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D
+ (X), si F ≃ F
′ , avec F
′ ` a degr´ es born´ es
inf´ erieurement et ` a composantes injectives, alors R Hom(E, F ) ≃ Hom
• (E, F
′ )
et R Hom(E, F ) ≃ Hom
• (E, F
′ ) ; pour F donn´ e, il existe un quasi-isomorphisme
F −→ F’ avec F’ du type pr´ ec´ edent (et les classes d’homotopie de tels quasiisomorphismes forment un syst` eme cofinal) ;
(c) pour f : X −→ Y et E ∈ ob D
+ (X), si E ≃ E
′ , avec E
′ ` a degr´ es
born´ es inf´ erieurement et ` a composantes flasques (par exemple, injectives), alors
Rf ∗ E ≃ f ∗ E
′ et RΓ(X, E) ≃ Γ(X, E
′ ) ; on ´ ecrit simplement H
i (X, E) au
lieu de H
i RΓ(X, E) ; on d´ efinit plus g´ en´ eralement, de la mˆ eme fa¸ con, Rf ∗ :
D
+ (X, f
−1 (O Y )) −→ D
+ (Y ), o` u D(X, f
−1 (O Y )) d´ esigne la cat´ egorie d´ eriv´ ee de
la cat´ egorie des complexes de f
−1 (O Y )-modules (le complexe de de Rham Ω
•
X/Y
est un tel complexe) ;
12 Une erreur de signe s’est gliss´ ee dans la d´ efinition du complexe Hom
• (L, M) dans [H1] p. 64 :
pour u ∈ Hom(L i , M i+n ), il faut lire du = d ◦ u + (−1) n+1 u ◦ d.