4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales
137
Tout triangle distingu´ e T = (L −→ M −→ N −→ L[1]) de D(A) donne
naissance ` a des suites exactes longues
· · · −→ H
i L −→ H
i M −→ H
i N
d
−→ H
i+1 L −→ · · · ,
· · · −→ Ext
i (E, L) −→ Ext
i (E, M ) −→ Ext
i (E, N ) −→ Ext
i+1 (E, L) −→ · · · ,
· · · −→ Ext
i (N, E) −→ Ext
i (M, E) −→ Ext
i (L, E) −→ Ext
i+1 (N, E) −→ · · · ,
pour E ∈ ob D(A). Si le triangle T est associ´ e ` a une suite exacte courte comme
expliqu´ e ci-dessus, l’op´ erateur d de la premi` ere de ces suites est l’op´ erateur bord
usuel (c’est la raison de la convention de signe dans la d´ efinition de p).
4.5. Soient L un complexe de A et i ∈ Z. Le quotient τ i L/τ i−1 L s’envoie quasiisomorphiquement sur H
i L[−i]. On a donc un triangle distingu´ e canonique de
D(A)
τ i−1 L −→ τ i L −→ H
i L[−i] −→ τ i−1 L[1].
On d´ efinit de mˆ eme un triangle distingu´ e canonique
H
i−1 L[−i + 1] −→ τ i−1 L −→ τ i L −→ H
i−1 L[−i + 2].
Enfin,
τ [i−1,i] L := τ i−1 τ i L = τ i τ i−1 L = (0 −→ L
i−1 /B
i L −→ Z
i L −→ 0)
d´ efinit un triangle distingu´ e
H
i−1 L[−i + 1] −→ τ [i−1,i] L −→ H
i L[−i] −→,
qui fournit un ´ el´ ement canonique
(4.5.1)
c i ∈ Ext
2 (H
i L, H
i−1 L).
Le triplet (H
i−1 L, H
i L, c i ) est un invariant de L dans D(A). Il permet sa
reconstruction ` a isomorphisme pr` es si L est cohomologiquement concentr´ e en degr´ e
i − 1 et i. On peut montrer que les c i r´ ealisent universellement les diff´ erentielles d 2
des suites spectrales de foncteurs d´ eriv´ es appliqu´ es ` a L (cf. la th` ese de Verdier
11 ,
ou [D3]).
4.6. Soit L un objet de D
b (A). On dit que L est d´ ecomposable si L est isomorphe,
dans D(A), ` a un complexe ` a diff´ erentielle nulle. Si L est d´ ecomposable, et si
u : L
′ −→ L est un isomorphisme de D(A), avec L
′ ` a diff´ erentielle nulle, alors
u induit des isomorphismes L
′ i ∼
−→ H
i L, en particulier L
′ est ` a degr´ es born´ es et
L
′ =
L
′ i [−i] (dans C(A)) (4.1), donc
(4.6.1)
L ≃
H
i L[−i]
11 qui devrait paraˆ ıtre prochainement dans Ast´ erisque
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Tout triangle distingu´ e T = (L −→ M −→ N −→ L[1]) de D(A) donne
naissance ` a des suites exactes longues
· · · −→ H
i L −→ H
i M −→ H
i N
d
−→ H
i+1 L −→ · · · ,
· · · −→ Ext
i (E, L) −→ Ext
i (E, M ) −→ Ext
i (E, N ) −→ Ext
i+1 (E, L) −→ · · · ,
· · · −→ Ext
i (N, E) −→ Ext
i (M, E) −→ Ext
i (L, E) −→ Ext
i+1 (N, E) −→ · · · ,
pour E ∈ ob D(A). Si le triangle T est associ´ e ` a une suite exacte courte comme
expliqu´ e ci-dessus, l’op´ erateur d de la premi` ere de ces suites est l’op´ erateur bord
usuel (c’est la raison de la convention de signe dans la d´ efinition de p).
4.5. Soient L un complexe de A et i ∈ Z. Le quotient τ i L/τ i−1 L s’envoie quasiisomorphiquement sur H
i L[−i]. On a donc un triangle distingu´ e canonique de
D(A)
τ i−1 L −→ τ i L −→ H
i L[−i] −→ τ i−1 L[1].
On d´ efinit de mˆ eme un triangle distingu´ e canonique
H
i−1 L[−i + 1] −→ τ i−1 L −→ τ i L −→ H
i−1 L[−i + 2].
Enfin,
τ [i−1,i] L := τ i−1 τ i L = τ i τ i−1 L = (0 −→ L
i−1 /B
i L −→ Z
i L −→ 0)
d´ efinit un triangle distingu´ e
H
i−1 L[−i + 1] −→ τ [i−1,i] L −→ H
i L[−i] −→,
qui fournit un ´ el´ ement canonique
(4.5.1)
c i ∈ Ext
2 (H
i L, H
i−1 L).
Le triplet (H
i−1 L, H
i L, c i ) est un invariant de L dans D(A). Il permet sa
reconstruction ` a isomorphisme pr` es si L est cohomologiquement concentr´ e en degr´ e
i − 1 et i. On peut montrer que les c i r´ ealisent universellement les diff´ erentielles d 2
des suites spectrales de foncteurs d´ eriv´ es appliqu´ es ` a L (cf. la th` ese de Verdier
11 ,
ou [D3]).
4.6. Soit L un objet de D
b (A). On dit que L est d´ ecomposable si L est isomorphe,
dans D(A), ` a un complexe ` a diff´ erentielle nulle. Si L est d´ ecomposable, et si
u : L
′ −→ L est un isomorphisme de D(A), avec L
′ ` a diff´ erentielle nulle, alors
u induit des isomorphismes L
′ i ∼
−→ H
i L, en particulier L
′ est ` a degr´ es born´ es et
L
′ =
L
′ i [−i] (dans C(A)) (4.1), donc
(4.6.1)
L ≃
H
i L[−i]
11 qui devrait paraˆ ıtre prochainement dans Ast´ erisque