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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
o` u s et t sont des quasi-isomorphismes. Plus pr´ ecis´ ement, on montre que les
classes d’homotopie de quasi-isomorphismes de source M (resp. but L) forment
une cat´ egorie filtrante
10 (resp. l’oppos´ e d’une cat´ egorie filtrante) et que l’on a
Hom D(A) (L, M ) =
lim
−→
t : M → M
′
Hom K(A) (L, M
′ ) =
lim
−→
s : L
′ → L
Hom K(A) (L
′ , M )
o` u t (resp. s) parcourt la cat´ egorie pr´ ec´ edente (resp. son oppos´ ee). Si L, M sont
des complexes, on pose, pour i ∈ Z,
Ext
i (L, M ) = Hom D(A) (L, M [i]) = Hom D(A) (L[−i], M ).
Les foncteurs H
i et les foncteurs de troncation canonique τ i , τ i sur C(A) se
prolongent naturellement ` a D(A). Par contre, il n’en est pas de mˆ eme des foncteurs
de troncation na¨ ıve.
4.3. On d´ esigne par D
+ (A) (resp. D
− (A), resp. D
b (A)) la sous-cat´ egorie pleine
de D(A) form´ ee des complexes L cohomologiquement born´ es inf´ erieurement (resp.
sup´ erieurement, resp. born´ es), i.e. tels que H
i L = 0 pour i assez petit (resp. assez
grand, resp. hors d’un intervalle born´ e). Si A poss` ede suffisamment d’injectifs (i.e.
si tout objet de A se plonge dans un injectif), par exemple si A est la cat´ egorie
des O X -modules sur un sch´ ema X, alors tout objet de D
+ (A) est isomorphe ` a un
complexe, ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement, form´ e d’injectifs, et la cat´ egorie D
+ (A)
est ´ equivalente ` a la sous-cat´ egorie pleine de K(A) form´ ee de tels complexes.
4.4. Les cat´ egories K(A) et D(A) ne sont pas ab´ eliennes en g´ en´ eral, mais poss` edent
une structure de cat´ egorie triangul´ ee, au sens de Verdier [V]. Cette structure est
d´ efinie par la famille des triangles distingu´ es. Un triangle est une suite de fl` eches
T = (L −→ M −→ N −→ L[1]) de K(A) (resp. D(A)). Un morphisme de T dans
T
′ = (L
′ −→ M
′ −→ N
′ −→ L
′ [1]) est un triplet (u : L −→ L
′ , v : M −→ M
′ ,
w : N −→ N
′ ) tel que les trois carr´ es form´ es avec u, v, w, u[1] commutent. Un
triangle est dit distingu´ e s’il est isomorphe ` a un triangle de la forme
L
u
−→ M
i
−→ C(u)
p
−→ L[1],
o` u u est le cˆ one d’un morphisme de complexes u, et i (resp. p) d´ esigne l’inclusion
(resp. l’oppos´ ee de la projection) ´ evidente. Toute suite exacte courte de complexes
0 −→ E
u
−→ F −→ G −→ 0 d´ efinit un triangle distingu´ e de D(A), au moyen du
quasi-isomorphisme naturel C(u) −→ G, et tout triangle distingu´ e de D(A) est
isomorphe ` a un triangle distingu´ e de ce type.
10 Une cat´ egorie I est dite filtrante si elle v´ erife les conditions (a) et (b) suivantes :
(a) pour tout couple de fl` eches f, g : i −→ j, il existe une fl` eche h : j −→ k telle que hf = hg,
(b) quels que soient les objets i et j, il existe un objet k et des fl` eches f : i −→ k, g : j −→ k.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
o` u s et t sont des quasi-isomorphismes. Plus pr´ ecis´ ement, on montre que les
classes d’homotopie de quasi-isomorphismes de source M (resp. but L) forment
une cat´ egorie filtrante
10 (resp. l’oppos´ e d’une cat´ egorie filtrante) et que l’on a
Hom D(A) (L, M ) =
lim
−→
t : M → M
′
Hom K(A) (L, M
′ ) =
lim
−→
s : L
′ → L
Hom K(A) (L
′ , M )
o` u t (resp. s) parcourt la cat´ egorie pr´ ec´ edente (resp. son oppos´ ee). Si L, M sont
des complexes, on pose, pour i ∈ Z,
Ext
i (L, M ) = Hom D(A) (L, M [i]) = Hom D(A) (L[−i], M ).
Les foncteurs H
i et les foncteurs de troncation canonique τ i , τ i sur C(A) se
prolongent naturellement ` a D(A). Par contre, il n’en est pas de mˆ eme des foncteurs
de troncation na¨ ıve.
4.3. On d´ esigne par D
+ (A) (resp. D
− (A), resp. D
b (A)) la sous-cat´ egorie pleine
de D(A) form´ ee des complexes L cohomologiquement born´ es inf´ erieurement (resp.
sup´ erieurement, resp. born´ es), i.e. tels que H
i L = 0 pour i assez petit (resp. assez
grand, resp. hors d’un intervalle born´ e). Si A poss` ede suffisamment d’injectifs (i.e.
si tout objet de A se plonge dans un injectif), par exemple si A est la cat´ egorie
des O X -modules sur un sch´ ema X, alors tout objet de D
+ (A) est isomorphe ` a un
complexe, ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement, form´ e d’injectifs, et la cat´ egorie D
+ (A)
est ´ equivalente ` a la sous-cat´ egorie pleine de K(A) form´ ee de tels complexes.
4.4. Les cat´ egories K(A) et D(A) ne sont pas ab´ eliennes en g´ en´ eral, mais poss` edent
une structure de cat´ egorie triangul´ ee, au sens de Verdier [V]. Cette structure est
d´ efinie par la famille des triangles distingu´ es. Un triangle est une suite de fl` eches
T = (L −→ M −→ N −→ L[1]) de K(A) (resp. D(A)). Un morphisme de T dans
T
′ = (L
′ −→ M
′ −→ N
′ −→ L
′ [1]) est un triplet (u : L −→ L
′ , v : M −→ M
′ ,
w : N −→ N
′ ) tel que les trois carr´ es form´ es avec u, v, w, u[1] commutent. Un
triangle est dit distingu´ e s’il est isomorphe ` a un triangle de la forme
L
u
−→ M
i
−→ C(u)
p
−→ L[1],
o` u u est le cˆ one d’un morphisme de complexes u, et i (resp. p) d´ esigne l’inclusion
(resp. l’oppos´ ee de la projection) ´ evidente. Toute suite exacte courte de complexes
0 −→ E
u
−→ F −→ G −→ 0 d´ efinit un triangle distingu´ e de D(A), au moyen du
quasi-isomorphisme naturel C(u) −→ G, et tout triangle distingu´ e de D(A) est
isomorphe ` a un triangle distingu´ e de ce type.
10 Une cat´ egorie I est dite filtrante si elle v´ erife les conditions (a) et (b) suivantes :
(a) pour tout couple de fl` eches f, g : i −→ j, il existe une fl` eche h : j −→ k telle que hf = hg,
(b) quels que soient les objets i et j, il existe un objet k et des fl` eches f : i −→ k, g : j −→ k.