4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales
135
intervalle born´ e de Z). On note Z
i L = Ker d : L
i −→ L
i+1 , B
i L = Im d : L
i−1 −→
L
i , H
i L = Z
i L/B
i L respectivement les objets de cycles, bords et cohomologie en
degr´ e i. Si A est la cat´ egorie des O X -modules, on ´ ecrit C(X) au lieu de C(A), et
souvent H
i L au lieu de H
i L pour un objet de C(X) (afin d’indiquer qu’il s’agit
du faisceau de cohomologie en degr´ e i, et non du groupe de cohomologie global
H
i (X, L)).
Pour n ∈ Z, le tronqu´ e na¨ ıf L
n (resp. L
n ) d’un complexe L est le quotient
(resp. le sous-complexe) de L qui co¨ ıncide avec L en degr´ e n (resp. n) et
est ` a composantes nulles ailleurs. Le tronqu´ e canonique τ n L (resp. τ n L) est le
sous-complexe (resp. quotient) de L de composantes L
i pour i < n, Z
i L pour
i = n et 0 pour i > n (resp. L
i pour i > n, L
i /B
i L pour i = n et 0 pour i < n).
On pose τ
pour i n. La projection L −→ −→ τ n L induit un isomorphisme sur H
i pour i n.
Pour n ∈ Z, le translat´ e L[n] d’un complexe L est le complexe de composantes
L[n]
i = L
n+i et de diff´ erentielle d L[n] = (−1)
n d L . Un complexe L est dit concentr´ e
en degr´ e r (resp. dans l’intervalle [a, b]) si L
i = 0 pour i = r (resp. i /
∈ [a, b]). Un
objet E de A est souvent consid´ er´ e comme complexe concentr´ e en degr´ e z´ ero. Le
complexe E[−n] est alors concentr´ e en degr´ e n, de composante E en ce degr´ e.
Un homomorphisme de complexes u : L −→ M est appel´ e un quasiisomorphisme si H
i u est un isomorphisme pour tout i. On dit qu’un complexe
K est acyclique si H
i K = 0 pour tout i.
Si u : L −→ M est un homomorphisme de complexes, le cˆ one N = C(u)
de u est le complexe d´ efini par N
i = L
i+1 ⊕ M
i , de diff´ erentielle d(x, y) =
(−d L x, ux + d M y). Pour que u soit un quasi-isomorphisme, il faut et il suffit que
C(u) soit acyclique.
4.2. D´ esignons par K(A) la cat´ egorie des complexes de A ` a homotopie pr` es,
i.e. la cat´ egorie ayant mˆ emes objets que C(A) mais dont l’ensemble des fl` eches
de L dans M est l’ensemble des classes d’homotopie de morphismes de L dans
M . La cat´ egorie d´ eriv´ ee de A, not´ ee D(A), est la cat´ egorie d´ eduite de K(A)
en inversant formellement les (classes d’homotopie de) quasi-isomorphismes : les
quasi-isomorphismes de K(A) deviennent des isomorphismes dans D(A) et D(A)
est universelle pour cette propri´ et´ e. Quand A est la cat´ egorie des O X -modules sur
une espace annel´ e X, on ´ ecrit D(X) au lieu de D(A). Les cat´ egories K(A) et D(A)
sont des cat´ egories additives, et l’on a des foncteurs additifs canoniques
C(A) −→ K(A) −→ D(A).
La cat´ egorie D(A) a mˆ emes objets que C(A). Ses fl` eches se calculent “par
fractions” ` a partir de celles de K(A) : une fl` eche u : L −→ M de D(A) est
d´ efinie par un couple de fl` eches de C(A) du type
L
s
←− L
′ f
−→ M
ou
L
g
−→ M
′
t
←− M,
135
intervalle born´ e de Z). On note Z
i L = Ker d : L
i −→ L
i+1 , B
i L = Im d : L
i−1 −→
L
i , H
i L = Z
i L/B
i L respectivement les objets de cycles, bords et cohomologie en
degr´ e i. Si A est la cat´ egorie des O X -modules, on ´ ecrit C(X) au lieu de C(A), et
souvent H
i L au lieu de H
i L pour un objet de C(X) (afin d’indiquer qu’il s’agit
du faisceau de cohomologie en degr´ e i, et non du groupe de cohomologie global
H
i (X, L)).
Pour n ∈ Z, le tronqu´ e na¨ ıf L
n (resp. L
n ) d’un complexe L est le quotient
(resp. le sous-complexe) de L qui co¨ ıncide avec L en degr´ e n (resp. n) et
est ` a composantes nulles ailleurs. Le tronqu´ e canonique τ n L (resp. τ n L) est le
sous-complexe (resp. quotient) de L de composantes L
i pour i < n, Z
i L pour
i = n et 0 pour i > n (resp. L
i pour i > n, L
i /B
i L pour i = n et 0 pour i < n).
On pose τ
pour i n. La projection L −→ −→ τ n L induit un isomorphisme sur H
i pour i n.
Pour n ∈ Z, le translat´ e L[n] d’un complexe L est le complexe de composantes
L[n]
i = L
n+i et de diff´ erentielle d L[n] = (−1)
n d L . Un complexe L est dit concentr´ e
en degr´ e r (resp. dans l’intervalle [a, b]) si L
i = 0 pour i = r (resp. i /
∈ [a, b]). Un
objet E de A est souvent consid´ er´ e comme complexe concentr´ e en degr´ e z´ ero. Le
complexe E[−n] est alors concentr´ e en degr´ e n, de composante E en ce degr´ e.
Un homomorphisme de complexes u : L −→ M est appel´ e un quasiisomorphisme si H
i u est un isomorphisme pour tout i. On dit qu’un complexe
K est acyclique si H
i K = 0 pour tout i.
Si u : L −→ M est un homomorphisme de complexes, le cˆ one N = C(u)
de u est le complexe d´ efini par N
i = L
i+1 ⊕ M
i , de diff´ erentielle d(x, y) =
(−d L x, ux + d M y). Pour que u soit un quasi-isomorphisme, il faut et il suffit que
C(u) soit acyclique.
4.2. D´ esignons par K(A) la cat´ egorie des complexes de A ` a homotopie pr` es,
i.e. la cat´ egorie ayant mˆ emes objets que C(A) mais dont l’ensemble des fl` eches
de L dans M est l’ensemble des classes d’homotopie de morphismes de L dans
M . La cat´ egorie d´ eriv´ ee de A, not´ ee D(A), est la cat´ egorie d´ eduite de K(A)
en inversant formellement les (classes d’homotopie de) quasi-isomorphismes : les
quasi-isomorphismes de K(A) deviennent des isomorphismes dans D(A) et D(A)
est universelle pour cette propri´ et´ e. Quand A est la cat´ egorie des O X -modules sur
une espace annel´ e X, on ´ ecrit D(X) au lieu de D(A). Les cat´ egories K(A) et D(A)
sont des cat´ egories additives, et l’on a des foncteurs additifs canoniques
C(A) −→ K(A) −→ D(A).
La cat´ egorie D(A) a mˆ emes objets que C(A). Ses fl` eches se calculent “par
fractions” ` a partir de celles de K(A) : une fl` eche u : L −→ M de D(A) est
d´ efinie par un couple de fl` eches de C(A) du type
L
s
←− L
′ f
−→ M
ou
L
g
−→ M
′
t
←− M,