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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
o` u
S 2 (a, b) = a 2 + b 2 + p
−1 (a
p−1
1
+ b
p−1
1
− (a 1 + b 1 )
p ),
P 2 (a, b) = b
p
1 a 2 + b 2 a
p
1 .
L’homomorphisme W 2 (k) −→ k est donn´ e par (a 1 , a 2 ) −→ a 1 . Si k = F p , alors
W 2 (k) ≃ Z/p
2 Z, l’isomorphisme ´ etant donn´ e par (a 1 , a 2 ) −→ τ (a 1 ) + p τ (a 2 ), o` u
τ d´ esigne la section multiplicative de Z/p
2 Z −→ F p . (Pour un expos´ e d’ensemble
de la th´ eorie des vecteurs de Witt, voir [S] II 6, [D-G] V.)
Dans ce cas, si X 0 est un Y 0 -sch´ ema lisse (i.e. un k-sch´ ema lisse), comme le
Frobenius absolu de Y 0 est un automorphisme, relever X 0 sur Y = Spec W 2 (k)
´ equivaut ` a relever X
′
0 , et, d’apr` es 2.12, l’obstruction ` a l’existence d’un tel
rel` evement se trouve dans Ext
2 (Ω
1
X 0
, O X 0 ) ≃ H
2 (X 0 , T X 0 )
8 . Si cette obstruction
est nulle, on peut choisir un rel` evement X
′ de X
′
0 et un rel` evement X de X 0 , et
alors l’obstruction ` a un rel` evement F : X −→ X
′ du Frobenius relatif F 0 se trouve
dans Ext
1 (F
∗
0 Ω
1
X ′
0
, O X 0 ) ≃ Ext
1 (Ω
1
X ′
0
, F 0 ∗ O X 0 ) (2.11)
9 . En tout cas, ces deux obstructions sont nulles localement, et mˆ eme d` es que X 0 est affine. Le choix d’un
rel` evement F fournit alors, d’apr` es 3.8, une description relativement explicite de
l’isomorphisme de Cartier en degr´ e 1 (et donc en tout degr´ e, par multiplicativit´ e).
4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales
Il existe plusieurs textes de r´ ef´ erence sur ce sujet, de divers niveaux. Le lecteur
qui souhaiterait se mettre rapidement au courant pourra consulter [I3], qui peut
servir d’introduction et contient une bibliographie ´ etendue. Nous nous bornerons
ici ` a rappeler quelques points fondamentaux dont nous ferons usage au num´ ero
suivant.
4.1. Soit A une cat´ egorie ab´ elienne (en pratique, A sera la cat´ egorie des O X -
modules d’un sch´ ema X). On d´ esigne par C(A) la cat´ egorie des complexes de A,
` a diff´ erentielle de degr´ e 1. On note L
• (ou L) un tel complexe
· · · −→ L
i
d
−→ L
i+1 −→ · · · .
On dit que L est ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement (resp. sup´ erieurement, resp. ` a
degr´ es born´ es) si L
i = 0 pour i assez petit (resp. assez grand, resp. hors d’un
8 On omet ici, pour abr´ eger, /Y 0 de la notation des diff´ erentielles.
9 On peut montrer ([Me-Sr] Appendix) que l’obstruction `
a un choix de (X, X ′ , F ) tel que
X ′ soit l’image inverse de X par l’automorphisme de Frobenius de W 2 (k) se trouve dans
Ext
1 (Ω 1
X ′
0
, B 1 F ∗ Ω •
X 0
) ; plus pr´ ecis´ ement, un tel triplet (X, X ′ , F ) existe si et seulement si la
classe de l’extension
0 −→ B
1 F ∗ Ω
•
X 0
−→ Z
1 F ∗ Ω
•
X 0
C
−→ Ω
1
X ′
0
−→ 0
(cas particulier i = 1 de l’isomorphisme de Cartier 3.5) est nulle. Voir [Sr] pour une application
`
a une autre d´ emonstration du th´ eor` eme principal de [D-I].
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
o` u
S 2 (a, b) = a 2 + b 2 + p
−1 (a
p−1
1
+ b
p−1
1
− (a 1 + b 1 )
p ),
P 2 (a, b) = b
p
1 a 2 + b 2 a
p
1 .
L’homomorphisme W 2 (k) −→ k est donn´ e par (a 1 , a 2 ) −→ a 1 . Si k = F p , alors
W 2 (k) ≃ Z/p
2 Z, l’isomorphisme ´ etant donn´ e par (a 1 , a 2 ) −→ τ (a 1 ) + p τ (a 2 ), o` u
τ d´ esigne la section multiplicative de Z/p
2 Z −→ F p . (Pour un expos´ e d’ensemble
de la th´ eorie des vecteurs de Witt, voir [S] II 6, [D-G] V.)
Dans ce cas, si X 0 est un Y 0 -sch´ ema lisse (i.e. un k-sch´ ema lisse), comme le
Frobenius absolu de Y 0 est un automorphisme, relever X 0 sur Y = Spec W 2 (k)
´ equivaut ` a relever X
′
0 , et, d’apr` es 2.12, l’obstruction ` a l’existence d’un tel
rel` evement se trouve dans Ext
2 (Ω
1
X 0
, O X 0 ) ≃ H
2 (X 0 , T X 0 )
8 . Si cette obstruction
est nulle, on peut choisir un rel` evement X
′ de X
′
0 et un rel` evement X de X 0 , et
alors l’obstruction ` a un rel` evement F : X −→ X
′ du Frobenius relatif F 0 se trouve
dans Ext
1 (F
∗
0 Ω
1
X ′
0
, O X 0 ) ≃ Ext
1 (Ω
1
X ′
0
, F 0 ∗ O X 0 ) (2.11)
9 . En tout cas, ces deux obstructions sont nulles localement, et mˆ eme d` es que X 0 est affine. Le choix d’un
rel` evement F fournit alors, d’apr` es 3.8, une description relativement explicite de
l’isomorphisme de Cartier en degr´ e 1 (et donc en tout degr´ e, par multiplicativit´ e).
4. Cat´ egories d´ eriv´ ees et suites spectrales
Il existe plusieurs textes de r´ ef´ erence sur ce sujet, de divers niveaux. Le lecteur
qui souhaiterait se mettre rapidement au courant pourra consulter [I3], qui peut
servir d’introduction et contient une bibliographie ´ etendue. Nous nous bornerons
ici ` a rappeler quelques points fondamentaux dont nous ferons usage au num´ ero
suivant.
4.1. Soit A une cat´ egorie ab´ elienne (en pratique, A sera la cat´ egorie des O X -
modules d’un sch´ ema X). On d´ esigne par C(A) la cat´ egorie des complexes de A,
` a diff´ erentielle de degr´ e 1. On note L
• (ou L) un tel complexe
· · · −→ L
i
d
−→ L
i+1 −→ · · · .
On dit que L est ` a degr´ es born´ es inf´ erieurement (resp. sup´ erieurement, resp. ` a
degr´ es born´ es) si L
i = 0 pour i assez petit (resp. assez grand, resp. hors d’un
8 On omet ici, pour abr´ eger, /Y 0 de la notation des diff´ erentielles.
9 On peut montrer ([Me-Sr] Appendix) que l’obstruction `
a un choix de (X, X ′ , F ) tel que
X ′ soit l’image inverse de X par l’automorphisme de Frobenius de W 2 (k) se trouve dans
Ext
1 (Ω 1
X ′
0
, B 1 F ∗ Ω •
X 0
) ; plus pr´ ecis´ ement, un tel triplet (X, X ′ , F ) existe si et seulement si la
classe de l’extension
0 −→ B
1 F ∗ Ω
•
X 0
−→ Z
1 F ∗ Ω
•
X 0
C
−→ Ω
1
X ′
0
−→ 0
(cas particulier i = 1 de l’isomorphisme de Cartier 3.5) est nulle. Voir [Sr] pour une application
`
a une autre d´ emonstration du th´ eor` eme principal de [D-I].