3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
133
(b) l’image de l’homomorphisme canonique
F
∗ : Ω
1
X ′ /Y −→ F ∗ Ω
1
X/Y
est contenue dans pF ∗ Ω
1
X/Y ;
(c) Notons
ϕ F : Ω
1
X ′
0 /Y 0
−→ F 0 ∗ Ω
1
X 0 /Y 0
l’homomorphisme “d´ eduit de F
∗ par division par p”, i.e. l’unique homomorphisme rendant commutatif le carr´ e
Ω
1
X ′ /Y
F
∗
−→ p F 0 ∗ Ω
1
X/Y
p
Ω
1
X ′
0 /Y 0
−→ F 0 ∗ Ω
1
X 0 /Y 0
;
alors l’image de ϕ F est contenue dans le noyau de la diff´ erentielle du complexe
de De Rham, i.e. dans le faisceau de cycles Z
1 F 0 ∗ Ω
•
X 0 /Y 0
, et le compos´ e de
ϕ F avec la projection sur H
1 F 0 ∗ Ω
•
X 0 /Y 0
est l’isomorphisme de Cartier C
−1 en
degr´ e 1 (cf. 3.5).
L’assertion (a) est triviale, (b) d´ ecoule de 3.4 (a), et (c) est imm´ ediat ` a partir
de (a), (b) et la caract´ erisation de l’isomorphisme de Cartier : en effet, si a est une
section locale de O X , de r´ eduction a 0 modulo p, et a
′ rel` eve dans O X ′ l’image a
′
0
de a 0 dans O X ′
0
, on a
F
∗ a
′ = a
p + pb
pour une section locale b de O X (car la r´ eduction modulo p de F
∗ a
′ est F
∗
0 a
′
0 = a
p
0 ),
et par suite
F
∗ (da
′ ) = pa
p−1 da + pdb,
d’o` u
(3.8.1)
ϕ F (da
′
0 ) = a
p−1
0
da 0 + db 0 ,
dont (c) r´ esulte aussitˆ ot.
3.9. Supposons – c’est, en pratique, l’un des cas les plus importants – que Y 0
soit le spectre d’un corps parfait k de caract´ eristique p. Alors le spectre Y de
l’anneau W 2 (k) des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k rel` eve Y 0 sur Z/p
2 Z (c’est
d’ailleurs, ` a isomorphisme pr` es, l’unique rel` evement (plat) de Y 0 ). Rappelons que
W 2 (k) est l’ensemble des suites (a 1 , a 2 ) d’´ el´ ements de k, muni de l’addition et de
la multiplication donn´ ees par
(a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) = (a 1 + b 1 , S 2 (a, b)),
(a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) = (a 1 b 1 , P 2 (a, b)),
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(b) l’image de l’homomorphisme canonique
F
∗ : Ω
1
X ′ /Y −→ F ∗ Ω
1
X/Y
est contenue dans pF ∗ Ω
1
X/Y ;
(c) Notons
ϕ F : Ω
1
X ′
0 /Y 0
−→ F 0 ∗ Ω
1
X 0 /Y 0
l’homomorphisme “d´ eduit de F
∗ par division par p”, i.e. l’unique homomorphisme rendant commutatif le carr´ e
Ω
1
X ′ /Y
F
∗
−→ p F 0 ∗ Ω
1
X/Y
p
Ω
1
X ′
0 /Y 0
−→ F 0 ∗ Ω
1
X 0 /Y 0
;
alors l’image de ϕ F est contenue dans le noyau de la diff´ erentielle du complexe
de De Rham, i.e. dans le faisceau de cycles Z
1 F 0 ∗ Ω
•
X 0 /Y 0
, et le compos´ e de
ϕ F avec la projection sur H
1 F 0 ∗ Ω
•
X 0 /Y 0
est l’isomorphisme de Cartier C
−1 en
degr´ e 1 (cf. 3.5).
L’assertion (a) est triviale, (b) d´ ecoule de 3.4 (a), et (c) est imm´ ediat ` a partir
de (a), (b) et la caract´ erisation de l’isomorphisme de Cartier : en effet, si a est une
section locale de O X , de r´ eduction a 0 modulo p, et a
′ rel` eve dans O X ′ l’image a
′
0
de a 0 dans O X ′
0
, on a
F
∗ a
′ = a
p + pb
pour une section locale b de O X (car la r´ eduction modulo p de F
∗ a
′ est F
∗
0 a
′
0 = a
p
0 ),
et par suite
F
∗ (da
′ ) = pa
p−1 da + pdb,
d’o` u
(3.8.1)
ϕ F (da
′
0 ) = a
p−1
0
da 0 + db 0 ,
dont (c) r´ esulte aussitˆ ot.
3.9. Supposons – c’est, en pratique, l’un des cas les plus importants – que Y 0
soit le spectre d’un corps parfait k de caract´ eristique p. Alors le spectre Y de
l’anneau W 2 (k) des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k rel` eve Y 0 sur Z/p
2 Z (c’est
d’ailleurs, ` a isomorphisme pr` es, l’unique rel` evement (plat) de Y 0 ). Rappelons que
W 2 (k) est l’ensemble des suites (a 1 , a 2 ) d’´ el´ ements de k, muni de l’addition et de
la multiplication donn´ ees par
(a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) = (a 1 + b 1 , S 2 (a, b)),
(a 1 , a 2 )(b 1 , b 2 ) = (a 1 b 1 , P 2 (a, b)),