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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
3.7. Il existe un lien ´ etroit entre isomorphisme de Cartier et rel` evements de Frobenius. Il ´ etait connu de Cartier, et lui a servi de motivation pour sa construction.
C’est lui qui est ` a l’origine des th´ eor` emes de d´ ecomposition et de d´ eg´ en´ erescence
de [D-I], voir n
◦ 5. Voici en quoi il consiste.
Soient i : T 0 −→ T un ´ epaississement d’ordre 1 et g 0 : S 0 −→ T 0 un morphisme
plat. Par rel` evement du T 0 -sch´ ema S 0 sur T on entend un T -sch´ ema plat S muni
d’un T 0 -isomorphisme T 0 × T S ≃ S 0 , i.e. un carr´ e cart´ esien
S 0
j
−→ S
g 0
g
T 0
i
−→ T
avec g plat. Si I (resp. J) est l’id´ eal de l’ ´ epaississement i (resp. j), la platitude de
g implique que l’homomorphisme canonique g
∗
0 I −→ J est un isomorphisme (cf.
2.13).
Prenons pour i l’´ epaississement Spec F p −→ Spec Z/p
2 Z, d’id´ eal engendr´ e
par p. Soit Y 0 un sch´ ema de caract´ eristique p, et soit Y un rel` evement de Y 0
sur Z/p
2 Z. L’id´ eal de Y 0 dans Y est donc pO Y , et la platitude de Y sur Z/p
2 Z
entraˆ ıne que la multiplication par p induit un isomorphisme
(3.7.1)
p : O Y 0
∼
−→ pO Y .
Soit maintenant f 0 : X 0 −→ Y 0 un morphisme lisse de F p -sch´ emas. Notons
F 0 : X 0 −→ X
′
0
le Frobenius de X 0 relatif ` a Y 0 . Supposons donn´ e un rel` evement (lisse) X (resp.
X
′ ) de X 0 (resp. X
′
0 ) sur Y et un Y -morphisme F : X −→ X
′ relevant F 0 , i.e. tel
que le carr´ e
X 0 −→ X
F 0
F
X
′
0 −→ X
′
commute. (On a vu qu’il existe des obstructions ` a l’existence de X, X
′ , et F , cf.
2.11 et 2.12, et que ces objets, quand ils existent, ne sont pas uniques ; nous y
reviendrons plus loin.)
Proposition 3.8. Soient f 0 : X 0 −→ Y 0 et F : X −→ X
′ donn´ es comme en 3.7.
Alors :
(a) la multiplication par p induit un isomorphisme
p : Ω
1
X 0 /Y 0
∼
−→ pΩ
1
X/Y ;
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
3.7. Il existe un lien ´ etroit entre isomorphisme de Cartier et rel` evements de Frobenius. Il ´ etait connu de Cartier, et lui a servi de motivation pour sa construction.
C’est lui qui est ` a l’origine des th´ eor` emes de d´ ecomposition et de d´ eg´ en´ erescence
de [D-I], voir n
◦ 5. Voici en quoi il consiste.
Soient i : T 0 −→ T un ´ epaississement d’ordre 1 et g 0 : S 0 −→ T 0 un morphisme
plat. Par rel` evement du T 0 -sch´ ema S 0 sur T on entend un T -sch´ ema plat S muni
d’un T 0 -isomorphisme T 0 × T S ≃ S 0 , i.e. un carr´ e cart´ esien
S 0
j
−→ S
g 0
g
T 0
i
−→ T
avec g plat. Si I (resp. J) est l’id´ eal de l’ ´ epaississement i (resp. j), la platitude de
g implique que l’homomorphisme canonique g
∗
0 I −→ J est un isomorphisme (cf.
2.13).
Prenons pour i l’´ epaississement Spec F p −→ Spec Z/p
2 Z, d’id´ eal engendr´ e
par p. Soit Y 0 un sch´ ema de caract´ eristique p, et soit Y un rel` evement de Y 0
sur Z/p
2 Z. L’id´ eal de Y 0 dans Y est donc pO Y , et la platitude de Y sur Z/p
2 Z
entraˆ ıne que la multiplication par p induit un isomorphisme
(3.7.1)
p : O Y 0
∼
−→ pO Y .
Soit maintenant f 0 : X 0 −→ Y 0 un morphisme lisse de F p -sch´ emas. Notons
F 0 : X 0 −→ X
′
0
le Frobenius de X 0 relatif ` a Y 0 . Supposons donn´ e un rel` evement (lisse) X (resp.
X
′ ) de X 0 (resp. X
′
0 ) sur Y et un Y -morphisme F : X −→ X
′ relevant F 0 , i.e. tel
que le carr´ e
X 0 −→ X
F 0
F
X
′
0 −→ X
′
commute. (On a vu qu’il existe des obstructions ` a l’existence de X, X
′ , et F , cf.
2.11 et 2.12, et que ces objets, quand ils existent, ne sont pas uniques ; nous y
reviendrons plus loin.)
Proposition 3.8. Soient f 0 : X 0 −→ Y 0 et F : X −→ X
′ donn´ es comme en 3.7.
Alors :
(a) la multiplication par p induit un isomorphisme
p : Ω
1
X 0 /Y 0
∼
−→ pΩ
1
X/Y ;