3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
131
l’homomorphisme
Ω
i
X/Y −→
(F Y ) X ∗ Ω
i
X ′ /Y , i.e. un homomorphisme de O X -
alg` ebres gradu´ ees
γ abs :
Ω
i
X/Y −→
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y
v´ erifiant les conditions analogues ` a (i) et (ii), i.e. donn´ e en degr´ e z´ ero par
F
∗
X , et en degr´ e 1 envoyant ds sur la classe de s
p−1 ds. Or l’application de
O X dans H
1 F X ∗ Ω
•
X/Y envoyant une section locale s de O X sur la classe
de s
p−1 ds est une Y -d´ erivation (cela r´ esulte de l’identit´ e p
−1 ((X + Y )
p −
X
p − Y
p ) =
0
p
i
X
p−i Y
i dans Z[X, Y ]). Par (1.2.4), elle d´ efinit
l’homomorphisme (γ abs )
1 d´ esir´ e. Comme l’alg` ebre ext´ erieure
Ω
i
X/Y est strictement anti-commutative (“strictement” voulant dire que les ´ el´ ements de degr´ e impair sont de carr´ e nul), il en est de mˆ eme de son sous-quotient
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y , et
par suite il existe un unique homomorphisme d’alg` ebres gradu´ ees γ abs prolongeant
les homomorphismes (γ abs )
0 = F
∗
X et (γ abs )
1 . Pour (b), on peut supposer, d’apr` es
2.7, que f se factorise en
X
g
−→ A
n
Y
h
−→ Y,
o` u h est la projection canonique et g est ´ etale. Le carr´ e (3.1.1) relatif ` a g ´ etant
cart´ esien d’apr` es 3.2, il en est de mˆ eme du carr´ e analogue avec les Frobenius relatifs
` a Y
X
F
−→ X
′
g
g
′
(3.6.1)
Z
F
−→ Z
′ ,
o` u l’on a pos´ e A
n
Y = Z pour abr´ eger. D’apr` es 2.4 (b), l’homomorphisme
g
∗ Ω
i
Z/Y −→ Ω
i
X/Y est un isomorphisme. Le carr´ e (3.6.1) ´ etant cart´ esien et F
fini, il fournit un isomorphisme de complexes de O X ′ -modules
(3.6.2)
g
′ ∗ F ∗ Ω
•
Z/Y −→ F ∗ Ω
•
X/Y .
Comme g
′ est ´ etale, donc plat, l’homomorphisme
(3.6.3)
g
′ ∗ H
i F ∗ Ω
•
Z/Y −→ H
i F ∗ Ω
•
X/Y
d´ eduit de (3.6.2) est un isomorphisme. Comme d’autre part g
′ ∗ Ω
i
Z ′ /Y −→ Ω
i
X ′ /Y
est un isomorphisme (g
′ ´ etant ´ etale), il s’ensuit (par fonctorialit´ e de γ) qu’il suffit
de prouver (b) pour Z. Par des arguments analogues (extension des scalaires et
K¨ unneth) on se ram` ene facilement ` a Y = Spec F p et n = 1, i.e. Z = Spec F p [t].
Alors Z
′ = Z, les monˆ omes 1, t, . . . , t
p−1 forment une base de F ∗ O Z sur O Z , et
comme la diff´ erentielle d : F ∗ O Z −→ F ∗ Ω
1
Z = (F ∗ O Z )dt envoie t
i sur it
i−1 dt,
on constate que H
0 F ∗ Ω
•
Z/F p
(resp. H
1 F ∗ Ω
•
Z/F p
) est libre sur O Z de base 1 (resp.
t
p−1 dt), et donc que γ est un isomorphisme.
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l’homomorphisme
Ω
i
X/Y −→
(F Y ) X ∗ Ω
i
X ′ /Y , i.e. un homomorphisme de O X -
alg` ebres gradu´ ees
γ abs :
Ω
i
X/Y −→
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y
v´ erifiant les conditions analogues ` a (i) et (ii), i.e. donn´ e en degr´ e z´ ero par
F
∗
X , et en degr´ e 1 envoyant ds sur la classe de s
p−1 ds. Or l’application de
O X dans H
1 F X ∗ Ω
•
X/Y envoyant une section locale s de O X sur la classe
de s
p−1 ds est une Y -d´ erivation (cela r´ esulte de l’identit´ e p
−1 ((X + Y )
p −
X
p − Y
p ) =
0
p
i
X
p−i Y
i dans Z[X, Y ]). Par (1.2.4), elle d´ efinit
l’homomorphisme (γ abs )
1 d´ esir´ e. Comme l’alg` ebre ext´ erieure
Ω
i
X/Y est strictement anti-commutative (“strictement” voulant dire que les ´ el´ ements de degr´ e impair sont de carr´ e nul), il en est de mˆ eme de son sous-quotient
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y , et
par suite il existe un unique homomorphisme d’alg` ebres gradu´ ees γ abs prolongeant
les homomorphismes (γ abs )
0 = F
∗
X et (γ abs )
1 . Pour (b), on peut supposer, d’apr` es
2.7, que f se factorise en
X
g
−→ A
n
Y
h
−→ Y,
o` u h est la projection canonique et g est ´ etale. Le carr´ e (3.1.1) relatif ` a g ´ etant
cart´ esien d’apr` es 3.2, il en est de mˆ eme du carr´ e analogue avec les Frobenius relatifs
` a Y
X
F
−→ X
′
g
g
′
(3.6.1)
Z
F
−→ Z
′ ,
o` u l’on a pos´ e A
n
Y = Z pour abr´ eger. D’apr` es 2.4 (b), l’homomorphisme
g
∗ Ω
i
Z/Y −→ Ω
i
X/Y est un isomorphisme. Le carr´ e (3.6.1) ´ etant cart´ esien et F
fini, il fournit un isomorphisme de complexes de O X ′ -modules
(3.6.2)
g
′ ∗ F ∗ Ω
•
Z/Y −→ F ∗ Ω
•
X/Y .
Comme g
′ est ´ etale, donc plat, l’homomorphisme
(3.6.3)
g
′ ∗ H
i F ∗ Ω
•
Z/Y −→ H
i F ∗ Ω
•
X/Y
d´ eduit de (3.6.2) est un isomorphisme. Comme d’autre part g
′ ∗ Ω
i
Z ′ /Y −→ Ω
i
X ′ /Y
est un isomorphisme (g
′ ´ etant ´ etale), il s’ensuit (par fonctorialit´ e de γ) qu’il suffit
de prouver (b) pour Z. Par des arguments analogues (extension des scalaires et
K¨ unneth) on se ram` ene facilement ` a Y = Spec F p et n = 1, i.e. Z = Spec F p [t].
Alors Z
′ = Z, les monˆ omes 1, t, . . . , t
p−1 forment une base de F ∗ O Z sur O Z , et
comme la diff´ erentielle d : F ∗ O Z −→ F ∗ Ω
1
Z = (F ∗ O Z )dt envoie t
i sur it
i−1 dt,
on constate que H
0 F ∗ Ω
•
Z/F p
(resp. H
1 F ∗ Ω
•
Z/F p
) est libre sur O Z de base 1 (resp.
t
p−1 dt), et donc que γ est un isomorphisme.