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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Th´ eor` eme 3.5. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y un
morphisme.
(a) Il existe un unique homomorphisme de O X ′ -alg` ebres gradu´ ees
γ :
Ω
i
X ′ /Y −→
H
i F ∗ Ω
•
X/Y ,
v´ erifiant les deux conditions suivantes :
(i) pour i = 0, γ est donn´ e par l’homomorphisme F
∗ : O X ′ −→ F ∗ O X ;
(ii) pour i = 1, γ envoie 1 ⊗ ds sur la classe de s
p−1 ds dans H
1 F ∗ Ω
•
X/Y (o` u
1 ⊗ ds d´ esigne l’image de la section ds de Ω
1
X/Y dans Ω
1
X ′ /Y .
(b) Si f est lisse, γ est un isomorphisme.
Dans le cas (b), γ s’appelle l’isomorphisme de Cartier, et se note C
−1 . Son
inverse, ou le compos´ e
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y −→
Ω
i
X ′ /Y
de son inverse avec la projection de
Z
i sur
H
i , o` u Z
i d´ esigne le faisceau des
cycles de F ∗ Ω
•
X/Y en degr´ e i, se note C : c’est ce dernier homomorphisme qui a
´ et´ e initialement d´ efini par Cartier, et qu’on appelle parfois l’op´ eration de Cartier.
La pr´ esentation adopt´ ee dans 3.5 est due ` a Grothendieck (notes manuscrites), et
d´ etaill´ ee dans [K1] 7.
Quand Y est un sch´ ema parfait, i.e. tel que F Y soit un automorphisme, par
exemple si Y est le spectre d’un corps parfait, l’un des cas les plus importants pour
les applications, alors si f est lisse, C
−1 donne par composition avec l’isomorphisme
Ω
i
X/Y −→
(F Y ) X ∗ Ω
i
X ′ /Y
(o` u (F Y ) X : X
′ −→ X est l’isomorphisme d´ eduit de F Y par changement de base)
un isomorphisme
C
−1
abs :
Ω
i
X/Y −→
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y
qu’on appelle isomorphisme de Cartier absolu.
Corollaire 3.6. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y
un morphisme lisse. Alors, pour tout i, les faisceaux de O X ′ -modules F ∗ Ω
i
X/Y ,
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y , B
i F ∗ Ω
•
X/Y , H
i F ∗ Ω
•
X/Y sont localement libres de type fini (o` u Z
i resp.
B
i d´ esigne le faisceau de cycles resp. bords en degr´ e i).
Compte tenu de 3.3 (a) et de l’exactitude de F ∗ , il suffit d’appliquer 3.5 (b),
en proc´ edant par r´ ecurrence descendante sur i.
Indiquons rapidement la d´ emonstration de 3.5, d’apr` es [K1] 7. Pour (a), il
revient au mˆ eme, compte tenu de (1.3.2), de construire le compos´ e de γ avec
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Th´ eor` eme 3.5. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y un
morphisme.
(a) Il existe un unique homomorphisme de O X ′ -alg` ebres gradu´ ees
γ :
Ω
i
X ′ /Y −→
H
i F ∗ Ω
•
X/Y ,
v´ erifiant les deux conditions suivantes :
(i) pour i = 0, γ est donn´ e par l’homomorphisme F
∗ : O X ′ −→ F ∗ O X ;
(ii) pour i = 1, γ envoie 1 ⊗ ds sur la classe de s
p−1 ds dans H
1 F ∗ Ω
•
X/Y (o` u
1 ⊗ ds d´ esigne l’image de la section ds de Ω
1
X/Y dans Ω
1
X ′ /Y .
(b) Si f est lisse, γ est un isomorphisme.
Dans le cas (b), γ s’appelle l’isomorphisme de Cartier, et se note C
−1 . Son
inverse, ou le compos´ e
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y −→
Ω
i
X ′ /Y
de son inverse avec la projection de
Z
i sur
H
i , o` u Z
i d´ esigne le faisceau des
cycles de F ∗ Ω
•
X/Y en degr´ e i, se note C : c’est ce dernier homomorphisme qui a
´ et´ e initialement d´ efini par Cartier, et qu’on appelle parfois l’op´ eration de Cartier.
La pr´ esentation adopt´ ee dans 3.5 est due ` a Grothendieck (notes manuscrites), et
d´ etaill´ ee dans [K1] 7.
Quand Y est un sch´ ema parfait, i.e. tel que F Y soit un automorphisme, par
exemple si Y est le spectre d’un corps parfait, l’un des cas les plus importants pour
les applications, alors si f est lisse, C
−1 donne par composition avec l’isomorphisme
Ω
i
X/Y −→
(F Y ) X ∗ Ω
i
X ′ /Y
(o` u (F Y ) X : X
′ −→ X est l’isomorphisme d´ eduit de F Y par changement de base)
un isomorphisme
C
−1
abs :
Ω
i
X/Y −→
H
i F X ∗ Ω
•
X/Y
qu’on appelle isomorphisme de Cartier absolu.
Corollaire 3.6. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y
un morphisme lisse. Alors, pour tout i, les faisceaux de O X ′ -modules F ∗ Ω
i
X/Y ,
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y , B
i F ∗ Ω
•
X/Y , H
i F ∗ Ω
•
X/Y sont localement libres de type fini (o` u Z
i resp.
B
i d´ esigne le faisceau de cycles resp. bords en degr´ e i).
Compte tenu de 3.3 (a) et de l’exactitude de F ∗ , il suffit d’appliquer 3.5 (b),
en proc´ edant par r´ ecurrence descendante sur i.
Indiquons rapidement la d´ emonstration de 3.5, d’apr` es [K1] 7. Pour (a), il
revient au mˆ eme, compte tenu de (1.3.2), de construire le compos´ e de γ avec