3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
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est affine d’anneau A, et X est l’espace affine A
n
Y = Spec B, o` u B = A[t 1 , . . . , t n ],
alors X
′ = A
n
Y
6 , et les morphismes F : X −→ X
′ et X
′ −→ X correspondent
respectivement aux homomorphismes t i −→ t
p
i et at i −→ a
p t i (a ∈ A).
Proposition 3.2. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p, et f : X −→ Y
un morphisme lisse, purement de dimension relative n (2.10). Alors le Frobenius
relatif F : X −→ X
′ est un morphisme fini et plat, et la O X ′ -alg` ebre F ∗ O X est
localement libre de rang p
n . En particulier, si f est ´ etale, F est un isomorphisme,
i.e. le carr´ e (3.1.1) est cart´ esien.
On traite d’abord le cas o` u n = 0, qui demande un peu d’alg` ebre commutative :
le point est que F est ´ etale, car, d’apr` es 2.6 (a), un Y -morphisme entre Y -
sch´ emas ´ etales est automatiquement ´ etale, et qu’un morphisme qui est ` a la fois
´ etale et radiciel
7 est une immersion ouverte ((SGA 1 I 5.1) ou (EGA IV 17.9.1)).
Ensuite, le cas o` u X est l’espace affine A
n
Y est imm´ ediat : les monˆ omes
t
m i
i , avec
0 m i < p − 1 forment une base de F ∗ O X sur O X ′ . Le cas g´ en´ eral s’en d´ eduit
grˆ ace ` a 2.7.
Remarques 3.3. (a) Comme, d’apr` es 2.10, Ω
i
X/Y est localement libre sur O X de
rang
n
i
, il r´ esulte de 3.2 que F ∗ Ω
i
X/Y est localement libre sur O X ′ de rang p
n
n
i
.
(b) L’´ enonc´ e 3.2 relatif ` a n = 0 admet une r´ eciproque : si Y est de caract´ eristique
p et si X est un Y -sch´ ema tel que le Frobenius relatif F X/Y soit un isomorphisme,
alors X est ´ etale sur Y (SGA 5 XV 1 Prop. 2). Quand Y est le spectre d’un corps,
c’est le “crit` ere de Mac Lane”.
3.4. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y un morphisme. Posons
d = d X/Y (1.2.3). Si s est une section locale de O X , on a d(s
p ) = ps
p−1 ds = 0.
Comme d(s
p ) = F
∗
X (ds) = F
∗ (1 ⊗ ds), il s’ensuit que
(a) les homomorphismes canoniques (1.3.2) associ´ es ` a (F X , F Y ) et F ,
F
∗
X Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X/Y ,
F
∗ Ω
1
X ′ /Y −→ Ω
1
X/Y
sont nuls ;
(b) la diff´ erentielle du complexe F ∗ Ω
•
X/Y est O X ′ -lin´ eaire ; en particulier, les
faisceaux de cycles Z
i , de bords B
i et de cohomologie H
i = Z
i /B
i du complexe
F ∗ Ω
•
X/Y sont des O X ′ -modules, et le produit ext´ erieur fait du O X ′ -module gradu´ e
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y (resp.
H
i F ∗ Ω
•
X/Y ) une alg` ebre gradu´ ee anti-commutative.
Ces faits sont ` a la source des miracles du calcul diff´ erentiel de caract´ eristique
p. Le r´ esultat principal est le th´ eor` eme suivant, dˆ u ` a Cartier [C] :
6 Il n’est pas vrai en g´ en´ eral que X et X ′ soient isomorphes en tant que Y -sch´ emas, c’est le
cas ici exceptionnellement.
7 Un morphisme g : T −→ S est dit radiciel si g est injectif et, pour tout point t de T , d’image
s dans S, l’extension r´ esiduelle k(s) −→ k(t) est radicielle.
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est affine d’anneau A, et X est l’espace affine A
n
Y = Spec B, o` u B = A[t 1 , . . . , t n ],
alors X
′ = A
n
Y
6 , et les morphismes F : X −→ X
′ et X
′ −→ X correspondent
respectivement aux homomorphismes t i −→ t
p
i et at i −→ a
p t i (a ∈ A).
Proposition 3.2. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p, et f : X −→ Y
un morphisme lisse, purement de dimension relative n (2.10). Alors le Frobenius
relatif F : X −→ X
′ est un morphisme fini et plat, et la O X ′ -alg` ebre F ∗ O X est
localement libre de rang p
n . En particulier, si f est ´ etale, F est un isomorphisme,
i.e. le carr´ e (3.1.1) est cart´ esien.
On traite d’abord le cas o` u n = 0, qui demande un peu d’alg` ebre commutative :
le point est que F est ´ etale, car, d’apr` es 2.6 (a), un Y -morphisme entre Y -
sch´ emas ´ etales est automatiquement ´ etale, et qu’un morphisme qui est ` a la fois
´ etale et radiciel
7 est une immersion ouverte ((SGA 1 I 5.1) ou (EGA IV 17.9.1)).
Ensuite, le cas o` u X est l’espace affine A
n
Y est imm´ ediat : les monˆ omes
t
m i
i , avec
0 m i < p − 1 forment une base de F ∗ O X sur O X ′ . Le cas g´ en´ eral s’en d´ eduit
grˆ ace ` a 2.7.
Remarques 3.3. (a) Comme, d’apr` es 2.10, Ω
i
X/Y est localement libre sur O X de
rang
n
i
, il r´ esulte de 3.2 que F ∗ Ω
i
X/Y est localement libre sur O X ′ de rang p
n
n
i
.
(b) L’´ enonc´ e 3.2 relatif ` a n = 0 admet une r´ eciproque : si Y est de caract´ eristique
p et si X est un Y -sch´ ema tel que le Frobenius relatif F X/Y soit un isomorphisme,
alors X est ´ etale sur Y (SGA 5 XV 1 Prop. 2). Quand Y est le spectre d’un corps,
c’est le “crit` ere de Mac Lane”.
3.4. Soient Y un sch´ ema de caract´ eristique p et f : X −→ Y un morphisme. Posons
d = d X/Y (1.2.3). Si s est une section locale de O X , on a d(s
p ) = ps
p−1 ds = 0.
Comme d(s
p ) = F
∗
X (ds) = F
∗ (1 ⊗ ds), il s’ensuit que
(a) les homomorphismes canoniques (1.3.2) associ´ es ` a (F X , F Y ) et F ,
F
∗
X Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X/Y ,
F
∗ Ω
1
X ′ /Y −→ Ω
1
X/Y
sont nuls ;
(b) la diff´ erentielle du complexe F ∗ Ω
•
X/Y est O X ′ -lin´ eaire ; en particulier, les
faisceaux de cycles Z
i , de bords B
i et de cohomologie H
i = Z
i /B
i du complexe
F ∗ Ω
•
X/Y sont des O X ′ -modules, et le produit ext´ erieur fait du O X ′ -module gradu´ e
Z
i F ∗ Ω
•
X/Y (resp.
H
i F ∗ Ω
•
X/Y ) une alg` ebre gradu´ ee anti-commutative.
Ces faits sont ` a la source des miracles du calcul diff´ erentiel de caract´ eristique
p. Le r´ esultat principal est le th´ eor` eme suivant, dˆ u ` a Cartier [C] :
6 Il n’est pas vrai en g´ en´ eral que X et X ′ soient isomorphes en tant que Y -sch´ emas, c’est le
cas ici exceptionnellement.
7 Un morphisme g : T −→ S est dit radiciel si g est injectif et, pour tout point t de T , d’image
s dans S, l’extension r´ esiduelle k(s) −→ k(t) est radicielle.