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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
ne d´ epend pas des choix, et qu’elle s’annule si et seulement si l’on peut, sur un
recouvrement plus fin, modifier les u ij de mani` ere ` a ce qu’ils se recollent sur
les intersections triples, et d´ efinissent ainsi un rel` evement global X de X 0 . C’est
l’obstruction annonc´ ee.
Remarque 2.14. La th´ eorie des gerbes [Gi] et celle du complexe cotangent [I1]
permettent, l’une et l’autre, de se d´ ebarrasser de l’hypoth` ese de s´ eparation faite
plus haut, et surtout, de donner une d´ emonstration plus conceptuelle de 2.12.
3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
Les r´ ef´ erences g´ en´ erales pour ce num´ ero sont (SGA 5 XV 1) pour les d´ efinitions
et propri´ et´ es de base des morphismes de Frobenius absolus et relatifs, et [K1] 7
pour l’isomorphisme de Cartier (cf. aussi [I2] 0 2 et [D-I] 1).
Dans ce num´ ero, p d´ esigne un nombre premier fix´ e.
3.1. On dit qu’un sch´ ema X est de caract´ eristique p si pO X = 0, i.e. si le
morphisme X −→ Spec Z se factorise (n´ ecessairement de mani` ere unique) ` a travers
Spec F p . Si X est un sch´ ema de caract´ eristique p, on appelle endomorphisme de
Frobenius absolu de X (ou, simplement endomorphisme de Frobenius, s’il n’y a
pas de confusion ` a craindre) l’endomorphisme de X qui est l’identit´ e sur l’espace
sous-jacent ` a X et l’´ el´ evation ` a la puissance p-i` eme sur O X . On le note F X . Si
X est affine d’anneau A, F X correspond ` a l’endomorphisme de Frobenius F A de
A, a −→ a
p . Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On a alors un carr´ e
commutatif
X
F X
−→ X
f
f
(3.1.1)
Y
F Y
−→ Y.
Notons X
(p) (ou X
′ , s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e) le sch´ ema (Y, F Y )× Y X d´ eduit de X
par le changement de base F Y . Le morphisme F X d´ efinit un unique Y -morphisme
F = F X/Y : X −→ X
′ , donnant lieu ` a un diagramme commutatif
X
F
−→ X
′ −→ X
f ց
f
(3.1.2)
Y
F Y
−→ Y,
o` u le compos´ e sup´ erieur est F X et le carr´ e est cart´ esien. On dit que F est le
Frobenius relatif de X sur Y . Les morphismes de la ligne sup´ erieure induisent
des hom´ eomorphismes sur les espaces sous-jacents (F Y est un “hom´ eomorphisme
universel”, i.e un hom´ eomorphisme et le reste apr` es tout changement de base). Si Y
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
ne d´ epend pas des choix, et qu’elle s’annule si et seulement si l’on peut, sur un
recouvrement plus fin, modifier les u ij de mani` ere ` a ce qu’ils se recollent sur
les intersections triples, et d´ efinissent ainsi un rel` evement global X de X 0 . C’est
l’obstruction annonc´ ee.
Remarque 2.14. La th´ eorie des gerbes [Gi] et celle du complexe cotangent [I1]
permettent, l’une et l’autre, de se d´ ebarrasser de l’hypoth` ese de s´ eparation faite
plus haut, et surtout, de donner une d´ emonstration plus conceptuelle de 2.12.
3. Frobenius et isomorphisme de Cartier
Les r´ ef´ erences g´ en´ erales pour ce num´ ero sont (SGA 5 XV 1) pour les d´ efinitions
et propri´ et´ es de base des morphismes de Frobenius absolus et relatifs, et [K1] 7
pour l’isomorphisme de Cartier (cf. aussi [I2] 0 2 et [D-I] 1).
Dans ce num´ ero, p d´ esigne un nombre premier fix´ e.
3.1. On dit qu’un sch´ ema X est de caract´ eristique p si pO X = 0, i.e. si le
morphisme X −→ Spec Z se factorise (n´ ecessairement de mani` ere unique) ` a travers
Spec F p . Si X est un sch´ ema de caract´ eristique p, on appelle endomorphisme de
Frobenius absolu de X (ou, simplement endomorphisme de Frobenius, s’il n’y a
pas de confusion ` a craindre) l’endomorphisme de X qui est l’identit´ e sur l’espace
sous-jacent ` a X et l’´ el´ evation ` a la puissance p-i` eme sur O X . On le note F X . Si
X est affine d’anneau A, F X correspond ` a l’endomorphisme de Frobenius F A de
A, a −→ a
p . Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On a alors un carr´ e
commutatif
X
F X
−→ X
f
f
(3.1.1)
Y
F Y
−→ Y.
Notons X
(p) (ou X
′ , s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e) le sch´ ema (Y, F Y )× Y X d´ eduit de X
par le changement de base F Y . Le morphisme F X d´ efinit un unique Y -morphisme
F = F X/Y : X −→ X
′ , donnant lieu ` a un diagramme commutatif
X
F
−→ X
′ −→ X
f ց
f
(3.1.2)
Y
F Y
−→ Y,
o` u le compos´ e sup´ erieur est F X et le carr´ e est cart´ esien. On dit que F est le
Frobenius relatif de X sur Y . Les morphismes de la ligne sup´ erieure induisent
des hom´ eomorphismes sur les espaces sous-jacents (F Y est un “hom´ eomorphisme
universel”, i.e un hom´ eomorphisme et le reste apr` es tout changement de base). Si Y