2. Lissit´ e et rel` evements
127
2.13. Voici une esquisse de d´ emonstration de 2.12. La donn´ ee d’un rel` evement X
´ equivaut ` a celle d’un carr´ e cart´ esien
X 0
j
−→ X
f 0
f
Y 0
i
−→ Y,
avec f lisse. Soit J l’id´ eal de l’´ epaississement j. La platitude de f (2.10) implique
que l’homomorphisme f
∗
0 I −→ J d´ eduit de ce carr´ e est un isomorphisme (il est
d’ailleurs facile de v´ erifier qu’inversement, si X est une Y -extension de X 0 par J
telle que l’homomorphisme correspondant f
∗
0 I −→ J soit un isomorphisme, alors X
est automatiquement un rel` evement de X 0 ). L’assertion (c) est donc cas particulier
de 2.11 (b), l’identification consistant ` a associer ` a un automorphisme u de X la
“d´ erivation” u − Id X . De mˆ eme, si X 1 et X 2 sont deux rel` evements de X 0 , 2.11 (a)
entraˆ ıne que X 1 et X 2 sont isomorphes si X 0 est affine, et que l’ensemble des
isomorphismes de X 1 sur X 2 est alors un espace affine sous Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I).
Les assertions (a) et (b) en d´ ecoulent formellement. La v´ erification de (b) est
analogue ` a celle de 2.11 : si X 1 et X 2 sont deux rel` evements de X 0 , la “diff´ erence”
de leurs classes d’isomorphie est la classe du torseur sous Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) des
isomorphismes locaux de X 1 sur X 2 (on peut aussi observer que les classes des
Y -extensions X 1 et X 2 de X 0 par f
∗
0 I diff` erent par une unique Y 0 -extension
de X 0 par f
∗
0 I et invoquer (2.5.1)). Enfin, indiquons rapidement la construction
de l’obstruction ω(f 0 ), en supposant pour simplifier X 0 s´ epar´ e. Tout d’abord,
par le crit` ere jacobien (2.8), l’existence d’un rel` evement global est assur´ ee dans
le cas o` u X 0 et Y 0 sont affines, et f 0 associ´ e ` a un homomorphisme d’anneaux
A 0 −→ B 0 , o` u B 0 est quotient d’une A 0 -alg` ebre de polynˆ omes A 0 [t 1 , . . . , t n ]
par l’id´ eal engendr´ e par une suite d’´ el´ ements (g 1 , . . . , g r ) telle que les dg i soient
lin´ eairement ind´ ependants en tout point x de X 0 (relever arbitrairement les g i ).
Comme (toujours d’apr` es (2.8)) f 0 est localement de la forme pr´ ec´ edente, on peut
choisir un recouvrement ouvert affine U = ((U i ) 0 ) i∈E de X 0 , et pour chaque
i, un rel` evement U i de (U i ) 0 sur Y . Comme X 0 a ´ et´ e suppos´ e s´ epar´ e, chaque
intersection (U ij ) 0 = (U i ) 0 ∩ (U j ) 0 est affine, et par suite, on peut choisir un
isomorphisme de rel` evements u ij de U i|(U ij ) 0 sur U j|(U ij ) 0 . Sur une intersection
triple (U ijk ) 0 = (U i ) 0 ∩ (U j ) 0 ∩ (U k ) 0 , l’automorphisme u ijk = u
−1
ki u jk u ij de
U i|(U ijk ) 0 diff` ere de l’identit´ e par une section
c ijk = u
∗
ijk − Id
du faisceau Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I). On v´ erifie que (c ijk ) est un 2-cocycle de U ` a valeurs
dans Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I), que la classe de ce cocycle dans
H
2 (X 0 , Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I))
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2.13. Voici une esquisse de d´ emonstration de 2.12. La donn´ ee d’un rel` evement X
´ equivaut ` a celle d’un carr´ e cart´ esien
X 0
j
−→ X
f 0
f
Y 0
i
−→ Y,
avec f lisse. Soit J l’id´ eal de l’´ epaississement j. La platitude de f (2.10) implique
que l’homomorphisme f
∗
0 I −→ J d´ eduit de ce carr´ e est un isomorphisme (il est
d’ailleurs facile de v´ erifier qu’inversement, si X est une Y -extension de X 0 par J
telle que l’homomorphisme correspondant f
∗
0 I −→ J soit un isomorphisme, alors X
est automatiquement un rel` evement de X 0 ). L’assertion (c) est donc cas particulier
de 2.11 (b), l’identification consistant ` a associer ` a un automorphisme u de X la
“d´ erivation” u − Id X . De mˆ eme, si X 1 et X 2 sont deux rel` evements de X 0 , 2.11 (a)
entraˆ ıne que X 1 et X 2 sont isomorphes si X 0 est affine, et que l’ensemble des
isomorphismes de X 1 sur X 2 est alors un espace affine sous Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I).
Les assertions (a) et (b) en d´ ecoulent formellement. La v´ erification de (b) est
analogue ` a celle de 2.11 : si X 1 et X 2 sont deux rel` evements de X 0 , la “diff´ erence”
de leurs classes d’isomorphie est la classe du torseur sous Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) des
isomorphismes locaux de X 1 sur X 2 (on peut aussi observer que les classes des
Y -extensions X 1 et X 2 de X 0 par f
∗
0 I diff` erent par une unique Y 0 -extension
de X 0 par f
∗
0 I et invoquer (2.5.1)). Enfin, indiquons rapidement la construction
de l’obstruction ω(f 0 ), en supposant pour simplifier X 0 s´ epar´ e. Tout d’abord,
par le crit` ere jacobien (2.8), l’existence d’un rel` evement global est assur´ ee dans
le cas o` u X 0 et Y 0 sont affines, et f 0 associ´ e ` a un homomorphisme d’anneaux
A 0 −→ B 0 , o` u B 0 est quotient d’une A 0 -alg` ebre de polynˆ omes A 0 [t 1 , . . . , t n ]
par l’id´ eal engendr´ e par une suite d’´ el´ ements (g 1 , . . . , g r ) telle que les dg i soient
lin´ eairement ind´ ependants en tout point x de X 0 (relever arbitrairement les g i ).
Comme (toujours d’apr` es (2.8)) f 0 est localement de la forme pr´ ec´ edente, on peut
choisir un recouvrement ouvert affine U = ((U i ) 0 ) i∈E de X 0 , et pour chaque
i, un rel` evement U i de (U i ) 0 sur Y . Comme X 0 a ´ et´ e suppos´ e s´ epar´ e, chaque
intersection (U ij ) 0 = (U i ) 0 ∩ (U j ) 0 est affine, et par suite, on peut choisir un
isomorphisme de rel` evements u ij de U i|(U ij ) 0 sur U j|(U ij ) 0 . Sur une intersection
triple (U ijk ) 0 = (U i ) 0 ∩ (U j ) 0 ∩ (U k ) 0 , l’automorphisme u ijk = u
−1
ki u jk u ij de
U i|(U ijk ) 0 diff` ere de l’identit´ e par une section
c ijk = u
∗
ijk − Id
du faisceau Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I). On v´ erifie que (c ijk ) est un 2-cocycle de U ` a valeurs
dans Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I), que la classe de ce cocycle dans
H
2 (X 0 , Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I))