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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(et Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I) ≃ g
∗
0 T X/Y ⊗ I, o` u T X/Y est le faisceau tangent (1.2.5)).
Posons G = Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I). D’apr` es (1.2.6), si U est un ouvert de T de trace
U 0 sur T 0 , deux prolongements de g 0|U 0 ` a U “diff` erent” par une section de G sur
U 0 (et un prolongement ´ etant donn´ e, on peut le modifier en lui “ajoutant” une
section de G). Comme g 0 se prolonge localement par d´ efinition de la lissit´ e de f ,
on en conclut que le faisceau P sur T 0 associant ` a U 0 l’ensemble des prolongements
de g 0 |U 0 ` a U est un torseur sous G. Les assertions (a) et (b) en r´ esultent : c(g 0 )
est la classe de ce torseur. Plus concr` etement, si (U i ) i∈E est un recouvrement
ouvert de T et g i un prolongement de g 0 sur U i , alors, sur U i ∩ U j , g i − g j est une
Y -d´ erivation D ij de O X ` a valeurs dans g 0 ∗ (I |U i ∩U j ), i.e. un homomorphisme de
Ω
1
X/Y dans g 0 ∗ (I |U i ∩U j ), i.e. finalement une section de G sur U i ∩ U j , et les (g ij )
forment un cocycle, dont la classe est c(g 0 ).
Noter que si T (ou ce qui revient au mˆ eme T 0 ) est affine, alors
H
1 (T 0 , Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I)) = 0,
et par suite g 0 admet un prolongement global ` a T .
Proposition 2.12. Soient i : Y 0 −→ Y un ´ epaississement d’ordre 1 d’id´ eal I, et
f 0 : X 0 −→ Y 0 un morphisme lisse.
(a) Il existe une obstruction
ω(f 0 ) ∈ Ext
2 (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I)
dont l’annulation est n´ ecessaire et suffisante ` a l’existence d’un rel` evement
lisse de X 0 sur Y , i.e. par d´ efinition, d’un Y -sch´ ema lisse X muni d’un Y 0 -
isomorphisme Y 0 × Y X ≃ X 0
5 .
(b) Si ω(f 0 ) = 0, l’ensemble des classes d’isomorphie de rel` evements de X 0 sur Y
est un espace affine sous Ext
1 (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) (o` u par d´ efinition, si X 1 et X 2 sont
des rel` evements de X 0 , un isomorphisme de X 1 sur X 2 est un Y -isomorphisme
de X 1 sur X 2 induisant l’identit´ e sur X 0 ).
(c) Si X est un rel` evement de X 0 sur Y , le groupe des automorphismes de
X (i.e. des Y -automorphismes de X induisant l’identit´ e sur X 0 ) s’identifie
naturellement ` a Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I).
Comme Ω
1
X 0 /Y 0
est localement libre de type fini, on a, pour tout i ∈ Z, un
isomorphisme canonique
(2.12.1)
Ext
i (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) ≃ H
i (X 0 , Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I))
(et Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) ≃ T X 0 /Y 0 ⊗ f
∗
0 I). Si X 0 est affine, le second membre de
(2.12.1) est nul pour i 1, et par suite il existe un rel` evement de X 0 sur Y , et
deux tels rel` evements sont isomorphes.
5 Dans la suite, quand nous parlerons de rel` evement d’un Y 0 -sch´ ema lisse, il sera sous-entendu,
sauf mention du contraire, qu’il s’agit d’un rel` evement lisse.
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(et Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I) ≃ g
∗
0 T X/Y ⊗ I, o` u T X/Y est le faisceau tangent (1.2.5)).
Posons G = Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I). D’apr` es (1.2.6), si U est un ouvert de T de trace
U 0 sur T 0 , deux prolongements de g 0|U 0 ` a U “diff` erent” par une section de G sur
U 0 (et un prolongement ´ etant donn´ e, on peut le modifier en lui “ajoutant” une
section de G). Comme g 0 se prolonge localement par d´ efinition de la lissit´ e de f ,
on en conclut que le faisceau P sur T 0 associant ` a U 0 l’ensemble des prolongements
de g 0 |U 0 ` a U est un torseur sous G. Les assertions (a) et (b) en r´ esultent : c(g 0 )
est la classe de ce torseur. Plus concr` etement, si (U i ) i∈E est un recouvrement
ouvert de T et g i un prolongement de g 0 sur U i , alors, sur U i ∩ U j , g i − g j est une
Y -d´ erivation D ij de O X ` a valeurs dans g 0 ∗ (I |U i ∩U j ), i.e. un homomorphisme de
Ω
1
X/Y dans g 0 ∗ (I |U i ∩U j ), i.e. finalement une section de G sur U i ∩ U j , et les (g ij )
forment un cocycle, dont la classe est c(g 0 ).
Noter que si T (ou ce qui revient au mˆ eme T 0 ) est affine, alors
H
1 (T 0 , Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I)) = 0,
et par suite g 0 admet un prolongement global ` a T .
Proposition 2.12. Soient i : Y 0 −→ Y un ´ epaississement d’ordre 1 d’id´ eal I, et
f 0 : X 0 −→ Y 0 un morphisme lisse.
(a) Il existe une obstruction
ω(f 0 ) ∈ Ext
2 (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I)
dont l’annulation est n´ ecessaire et suffisante ` a l’existence d’un rel` evement
lisse de X 0 sur Y , i.e. par d´ efinition, d’un Y -sch´ ema lisse X muni d’un Y 0 -
isomorphisme Y 0 × Y X ≃ X 0
5 .
(b) Si ω(f 0 ) = 0, l’ensemble des classes d’isomorphie de rel` evements de X 0 sur Y
est un espace affine sous Ext
1 (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) (o` u par d´ efinition, si X 1 et X 2 sont
des rel` evements de X 0 , un isomorphisme de X 1 sur X 2 est un Y -isomorphisme
de X 1 sur X 2 induisant l’identit´ e sur X 0 ).
(c) Si X est un rel` evement de X 0 sur Y , le groupe des automorphismes de
X (i.e. des Y -automorphismes de X induisant l’identit´ e sur X 0 ) s’identifie
naturellement ` a Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I).
Comme Ω
1
X 0 /Y 0
est localement libre de type fini, on a, pour tout i ∈ Z, un
isomorphisme canonique
(2.12.1)
Ext
i (Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) ≃ H
i (X 0 , Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I))
(et Hom(Ω
1
X 0 /Y 0
, f
∗
0 I) ≃ T X 0 /Y 0 ⊗ f
∗
0 I). Si X 0 est affine, le second membre de
(2.12.1) est nul pour i 1, et par suite il existe un rel` evement de X 0 sur Y , et
deux tels rel` evements sont isomorphes.
5 Dans la suite, quand nous parlerons de rel` evement d’un Y 0 -sch´ ema lisse, il sera sous-entendu,
sauf mention du contraire, qu’il s’agit d’un rel` evement lisse.