2. Lissit´ e et rel` evements
125
Plus g´ en´ eralement, on a le crit` ere suivant, de v´ erification facile ` a partir de 2.7
et 2.8 :
Proposition 2.10. Soit f : X −→ Y un morphisme localement de pr´ esentation
finie (2.1). Les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(i) f est lisse ;
(ii) f est plat et les fibres g´ eom´ etriques de f sont des sch´ emas r´ eguliers.
(On dit que f est plat si, pour tout point x de X, O X,x est un module
plat sur O Y,f (x) . Une fibre g´ eom´ etrique de f est le sch´ ema d´ eduit d’une fibre
X y = X × Y Spec k(y) de f en un point y par une extension des scalaires ` a une
clˆ oture alg´ ebrique de k(y).) Si f : X −→ Y est lisse, et x est un point de X, l’entier
dim x (f ) := dim k(x) Ω
1
X/Y ⊗ k(x) = rg O X,x Ω
1
X/Y,x
s’appelle dimension relative de f en x. Par la th´ eorie classique de la dimension
(EGA IV 17.10.2), c’est la dimension de la composante irr´ eductible de la fibre X f (x)
contenant x. Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type fini, c’est une fonction
localement constante de x. Elle est nulle si et seulement si f est ´ etale, en d’autres
termes, f est ´ etale si et seulement si f est localement de pr´ esentation finie, plat
et net (c’est ce crit` ere qui est pris comme d´ efinition d’un morphisme ´ etale dans
(SGA 1 I)).
Si f est lisse et purement de dimension relative r, i.e. de dimension relative
constante ´ egale ` a l’entier r, alors le complexe de De Rham Ω
•
X/Y (1.7.1) est nul
en degr´ e > r, et Ω
i
X/Y est localement libre de rang
r
i
; en particulier, Ω
r
X/Y est
un O X -module inversible.
Les morphismes lisses donnent lieu ` a une excellente th´ eorie de d´ eformations
infinit´ esimales. Les deux propositions qui suivent la r´ esument. Elles sont toutefois
de nature plus technique que les ´ enonc´ es pr´ ec´ edents, et comme elles ne serviront
que dans la d´ emonstration de 5.1, nous conseillons au lecteur de ne s’y reporter
qu’` a ce moment-l` a.
Proposition 2.11. Soit un diagramme (2.2.1), avec f lisse. Soit I l’id´ eal de i.
(a) Il existe une obstruction
c(g 0 ) ∈ Ext
1 (g
∗
0 Ω
1
X/Y , I)
dont l’annulation est n´ ecessaire et suffisante ` a l’existence d’un Y -morphisme
(global) g : T −→ X prolongeant g 0 (i.e. tel que gi = g 0 ).
(b) Si c(g 0 ) = 0, l’ensemble des prolongements g de g 0 est un espace affine sous
Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I).
Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type fini, on a un isomorphisme canonique
(2.11.1)
Ext
1 (g
∗
0 Ω
1
X/Y , I) ≃ H
1 (T 0 , Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I))
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Plus g´ en´ eralement, on a le crit` ere suivant, de v´ erification facile ` a partir de 2.7
et 2.8 :
Proposition 2.10. Soit f : X −→ Y un morphisme localement de pr´ esentation
finie (2.1). Les conditions suivantes sont ´ equivalentes :
(i) f est lisse ;
(ii) f est plat et les fibres g´ eom´ etriques de f sont des sch´ emas r´ eguliers.
(On dit que f est plat si, pour tout point x de X, O X,x est un module
plat sur O Y,f (x) . Une fibre g´ eom´ etrique de f est le sch´ ema d´ eduit d’une fibre
X y = X × Y Spec k(y) de f en un point y par une extension des scalaires ` a une
clˆ oture alg´ ebrique de k(y).) Si f : X −→ Y est lisse, et x est un point de X, l’entier
dim x (f ) := dim k(x) Ω
1
X/Y ⊗ k(x) = rg O X,x Ω
1
X/Y,x
s’appelle dimension relative de f en x. Par la th´ eorie classique de la dimension
(EGA IV 17.10.2), c’est la dimension de la composante irr´ eductible de la fibre X f (x)
contenant x. Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type fini, c’est une fonction
localement constante de x. Elle est nulle si et seulement si f est ´ etale, en d’autres
termes, f est ´ etale si et seulement si f est localement de pr´ esentation finie, plat
et net (c’est ce crit` ere qui est pris comme d´ efinition d’un morphisme ´ etale dans
(SGA 1 I)).
Si f est lisse et purement de dimension relative r, i.e. de dimension relative
constante ´ egale ` a l’entier r, alors le complexe de De Rham Ω
•
X/Y (1.7.1) est nul
en degr´ e > r, et Ω
i
X/Y est localement libre de rang
r
i
; en particulier, Ω
r
X/Y est
un O X -module inversible.
Les morphismes lisses donnent lieu ` a une excellente th´ eorie de d´ eformations
infinit´ esimales. Les deux propositions qui suivent la r´ esument. Elles sont toutefois
de nature plus technique que les ´ enonc´ es pr´ ec´ edents, et comme elles ne serviront
que dans la d´ emonstration de 5.1, nous conseillons au lecteur de ne s’y reporter
qu’` a ce moment-l` a.
Proposition 2.11. Soit un diagramme (2.2.1), avec f lisse. Soit I l’id´ eal de i.
(a) Il existe une obstruction
c(g 0 ) ∈ Ext
1 (g
∗
0 Ω
1
X/Y , I)
dont l’annulation est n´ ecessaire et suffisante ` a l’existence d’un Y -morphisme
(global) g : T −→ X prolongeant g 0 (i.e. tel que gi = g 0 ).
(b) Si c(g 0 ) = 0, l’ensemble des prolongements g de g 0 est un espace affine sous
Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I).
Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type fini, on a un isomorphisme canonique
(2.11.1)
Ext
1 (g
∗
0 Ω
1
X/Y , I) ≃ H
1 (T 0 , Hom(g
∗
0 Ω
1
X/Y , I))