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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
fini, il existe un voisinage ouvert U de x tel que les s i soient d´ efinies sur U et que
les ds i forment une base de Ω
1
X/Y |U . Les s i d´ efinissent alors un Y -morphisme de
U dans l’espace affine de dimension n sur Y :
s = (s 1 , . . . , s n ) : U −→ A
n
Y = Y [t 1 , . . . , t n ].
D’apr` es 1.6 et 2.6 (a), s est ´ etale. On dit que les s i forment un syst` eme de
coordonn´ ees locales de X sur Y au-dessus de U (ou, si U n’est pas pr´ ecis´ e, en
x). Un morphisme lisse est donc localement compos´ e d’un morphisme ´ etale et de
la projection d’un espace affine standard.
2.8. Pla¸ cons-nous dans la situation de 1.5, en supposant g lisse, et soit x un point de
X. D’apr` es 2.4 (c) et 2.6 (b), pour que f soit lisse au voisinage de x, il faut et il suffit
qu’il existe des sections s 1 , . . . , s r de I au voisinage de x, engendrant I x et telles
que les (ds i )(x) soient lin´ eairement ind´ ependants dans Ω
1
Z/Y (x) = Ω
1
Z/Y ⊗ k(x)
(o` u k(x) est le corps r´ esiduel de O Z,x , qui est aussi celui de O X,x ). Pour cette
raison, 2.6 (b) porte le nom de crit` ere jacobien.
Supposons f lisse au voisinage de x (ou en x, comme on dit parfois), et soient
s 1 , . . . , s r des sections de I engendrant I au voisinage de x. Alors, pour que les
s i d´ efinissent un syst` eme minimal de g´ en´ erateurs de I x (i.e. induisent une base
de I ⊗ k(x) = I x /m x I x , ou encore forment une base de I/I
2 = N X/Z dans un
voisinage de x), il faut et il suffit que les (ds i )(x) soient lin´ eairement ind´ ependants
dans Ω
1
Z/Y (x)
4 . Lorsqu’il en est ainsi, si l’on compl` ete les s i par des sections s j
(r + 1 j r + n) de O Z au voisinage de x telles que les (ds i )(x) (1 i r + n)
forment une base de Ω
1
Z/Y (x), alors les s i (1 i n) d´ efinissent un Y -morphisme
´ etale s d’un voisinage ouvert U de x dans Z dans l’espace affine A
n+r
Y
, tel que
U ∩ X soit l’image inverse du sous-espace lin´ eaire d’´ equations t 1 = · · · = t r = 0 :
U ∩ X −→ U
f
A
n
Y
−→ A
n+r
Y
.
En g´ eom´ etrie alg´ ebrique, cet ´ enonc´ e joue le rˆ ole d’un th´ eor` eme des fonctions
implicites.
2.9. Soit k un corps et soit f : X −→ Y = Spec k un morphisme. Supposons f
lisse ; alors X est r´ egulier (i.e. pour tout point x de X, l’anneau local O X,x est
r´ egulier, i.e. son id´ eal maximal m x peut ˆ etre engendr´ e par une suite r´ eguli` ere de
param` etres) ; de plus, si x est un point ferm´ e, k(x) est une extension finie s´ eparable
de k, et la dimension de O X,x est ´ egale ` a la dimension dim x X de la composante
irr´ eductible de X contenant x et au rang de Ω
1
X/Y en x. Inversement, si k est
parfait, et si X est r´ egulier, f est lisse.
4 ou encore que la suite (s i ) soit O Z -r´ eguli` ere en x, i.e. que le complexe de Koszul correspondant soit une r´ esolution de O X au voisinage de x (cf. (SGA 6 VII 1.4) et (EGA IV 17.12.1)).
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
fini, il existe un voisinage ouvert U de x tel que les s i soient d´ efinies sur U et que
les ds i forment une base de Ω
1
X/Y |U . Les s i d´ efinissent alors un Y -morphisme de
U dans l’espace affine de dimension n sur Y :
s = (s 1 , . . . , s n ) : U −→ A
n
Y = Y [t 1 , . . . , t n ].
D’apr` es 1.6 et 2.6 (a), s est ´ etale. On dit que les s i forment un syst` eme de
coordonn´ ees locales de X sur Y au-dessus de U (ou, si U n’est pas pr´ ecis´ e, en
x). Un morphisme lisse est donc localement compos´ e d’un morphisme ´ etale et de
la projection d’un espace affine standard.
2.8. Pla¸ cons-nous dans la situation de 1.5, en supposant g lisse, et soit x un point de
X. D’apr` es 2.4 (c) et 2.6 (b), pour que f soit lisse au voisinage de x, il faut et il suffit
qu’il existe des sections s 1 , . . . , s r de I au voisinage de x, engendrant I x et telles
que les (ds i )(x) soient lin´ eairement ind´ ependants dans Ω
1
Z/Y (x) = Ω
1
Z/Y ⊗ k(x)
(o` u k(x) est le corps r´ esiduel de O Z,x , qui est aussi celui de O X,x ). Pour cette
raison, 2.6 (b) porte le nom de crit` ere jacobien.
Supposons f lisse au voisinage de x (ou en x, comme on dit parfois), et soient
s 1 , . . . , s r des sections de I engendrant I au voisinage de x. Alors, pour que les
s i d´ efinissent un syst` eme minimal de g´ en´ erateurs de I x (i.e. induisent une base
de I ⊗ k(x) = I x /m x I x , ou encore forment une base de I/I
2 = N X/Z dans un
voisinage de x), il faut et il suffit que les (ds i )(x) soient lin´ eairement ind´ ependants
dans Ω
1
Z/Y (x)
4 . Lorsqu’il en est ainsi, si l’on compl` ete les s i par des sections s j
(r + 1 j r + n) de O Z au voisinage de x telles que les (ds i )(x) (1 i r + n)
forment une base de Ω
1
Z/Y (x), alors les s i (1 i n) d´ efinissent un Y -morphisme
´ etale s d’un voisinage ouvert U de x dans Z dans l’espace affine A
n+r
Y
, tel que
U ∩ X soit l’image inverse du sous-espace lin´ eaire d’´ equations t 1 = · · · = t r = 0 :
U ∩ X −→ U
f
A
n
Y
−→ A
n+r
Y
.
En g´ eom´ etrie alg´ ebrique, cet ´ enonc´ e joue le rˆ ole d’un th´ eor` eme des fonctions
implicites.
2.9. Soit k un corps et soit f : X −→ Y = Spec k un morphisme. Supposons f
lisse ; alors X est r´ egulier (i.e. pour tout point x de X, l’anneau local O X,x est
r´ egulier, i.e. son id´ eal maximal m x peut ˆ etre engendr´ e par une suite r´ eguli` ere de
param` etres) ; de plus, si x est un point ferm´ e, k(x) est une extension finie s´ eparable
de k, et la dimension de O X,x est ´ egale ` a la dimension dim x X de la composante
irr´ eductible de X contenant x et au rang de Ω
1
X/Y en x. Inversement, si k est
parfait, et si X est r´ egulier, f est lisse.
4 ou encore que la suite (s i ) soit O Z -r´ eguli` ere en x, i.e. que le complexe de Koszul correspondant soit une r´ esolution de O X au voisinage de x (cf. (SGA 6 VII 1.4) et (EGA IV 17.12.1)).