2. Lissit´ e et rel` evements
123
I est localement triviale, et donc, grˆ ace ` a (2.5.1), il en r´ esulte que le faisceau
Ext
1
O X
(Ω
1
X/Y , I) (associ´ e au pr´ efaisceau U −→ Ext
1
O U
(Ω
1
U/Y , I |U )) est nul, et donc
aussi que Ext
1
O U
(Ω
1
U/Y , J) = 0 pour tout ouvert U de X et tout O U -module
quasi-coh´ erent J. Comme Ω
1
X/Y est de type fini (2.1), il s’ensuit que Ω
1
X/Y est
localement libre de type fini, ce qui prouve la partie de (a) relative au cas lisse (la
partie relative au cas net est imm´ ediate : pour tout Y -sch´ ema X, si i : X −→ Z
est la Y -extension triviale de X par un O X -module quasi-coh´ erent I, l’ensemble
des Y -r´ etractions de Z sur X s’identifie ` a Hom(Ω
1
X/Y , I) par r −→ r − r 0 , o` u
r 0 correspond ` a l’injection naturelle de O X dans O X ⊕ I, cf. (1.2.6)). Il r´ esulte
notamment de (a) et (2.5.1) que, si X est un sch´ ema affine et est lisse sur Y , on a
Ext Y (X, I) = 0 pour tout O X -module quasi-coh´ erent I. On en d´ eduit finalement
(b), en utilisant, pour X, Y, S affines, et f quelconque, la suite exacte naturelle
(EGA 0 IV 20.2.3)
0 −→ Der Y (O X , I) −→ Der S (O X , I) −→ Der S (O Y , f ∗ I) −→
(2.5.2)
∂
−→ Ext Y (X, I) −→ Ext S (X, I) −→ Ext S (Y, f ∗ I),
o` u les fl` eches autres que ∂ sont les fl` eches de fonctorialit´ e ´ evidentes, et ∂ associe ` a
une S-d´ erivation D : O Y −→ f ∗ I la Y -extension d´ efinie par l’anneau des nombres
duaux O X ⊕ I et l’homomorphisme a −→ f
∗ a + Da de O Y dans f ∗ (O X ⊕ I).
Observons que si f : X −→ Y est un morphisme localement de pr´ esentation
finie de sch´ emas affines (i.e. correspondant ` a un homomorphisme d’anneaux
A −→ B faisant de B une A-alg` ebre de pr´ esentation finie), alors, pour que f
soit lisse, il faut et il suffit que, pour tout O X -module quasi-coh´ erent I, on ait
Ext Y (X, I) = 0 (la suffisance d´ ecoule de la d´ efinition, et la n´ ecessit´ e a d´ ej` a ´ et´ e
not´ ee plus haut).
Les assertions 2.4 (b) et (c) ont des r´ eciproques, qui fournissent des crit` eres
de lissit´ e tr` es commodes. Leur v´ erification est facile ` a partir des consid´ erations
pr´ ec´ edentes.
Proposition 2.6. (a) Dans la situation de 1.4, supposons gf lisse. Alors, si la suite
(2.4.1) est exacte et localement scind´ ee, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique
f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S est un isomorphisme, f est ´ etale.
(b) Dans la situation de 1.5, supposons g lisse. Alors, si la suite (2.4.2) est exacte et
localement scind´ ee, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y
est un isomorphisme, f est ´ etale.
2.7. Soit f : X −→ Y un morphisme lisse, et soit x un point de X, notons k(x)
le corps r´ esiduel de l’anneau local O X,x . Soient s 1 , . . . , s n des sections de O X au
voisinage de x dont les diff´ erentielles forment une base de Ω
1
X/Y en x, i.e., au choix,
telles que les images (ds i ) x des ds i dans Ω
1
X/Y,x forment une base de ce module
sur O X,x , ou telles que les images (ds i )(x) des ds i dans Ω
1
X/Y ⊗ k(x) forment une
base de cet espace vectoriel sur k(x). Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type
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I est localement triviale, et donc, grˆ ace ` a (2.5.1), il en r´ esulte que le faisceau
Ext
1
O X
(Ω
1
X/Y , I) (associ´ e au pr´ efaisceau U −→ Ext
1
O U
(Ω
1
U/Y , I |U )) est nul, et donc
aussi que Ext
1
O U
(Ω
1
U/Y , J) = 0 pour tout ouvert U de X et tout O U -module
quasi-coh´ erent J. Comme Ω
1
X/Y est de type fini (2.1), il s’ensuit que Ω
1
X/Y est
localement libre de type fini, ce qui prouve la partie de (a) relative au cas lisse (la
partie relative au cas net est imm´ ediate : pour tout Y -sch´ ema X, si i : X −→ Z
est la Y -extension triviale de X par un O X -module quasi-coh´ erent I, l’ensemble
des Y -r´ etractions de Z sur X s’identifie ` a Hom(Ω
1
X/Y , I) par r −→ r − r 0 , o` u
r 0 correspond ` a l’injection naturelle de O X dans O X ⊕ I, cf. (1.2.6)). Il r´ esulte
notamment de (a) et (2.5.1) que, si X est un sch´ ema affine et est lisse sur Y , on a
Ext Y (X, I) = 0 pour tout O X -module quasi-coh´ erent I. On en d´ eduit finalement
(b), en utilisant, pour X, Y, S affines, et f quelconque, la suite exacte naturelle
(EGA 0 IV 20.2.3)
0 −→ Der Y (O X , I) −→ Der S (O X , I) −→ Der S (O Y , f ∗ I) −→
(2.5.2)
∂
−→ Ext Y (X, I) −→ Ext S (X, I) −→ Ext S (Y, f ∗ I),
o` u les fl` eches autres que ∂ sont les fl` eches de fonctorialit´ e ´ evidentes, et ∂ associe ` a
une S-d´ erivation D : O Y −→ f ∗ I la Y -extension d´ efinie par l’anneau des nombres
duaux O X ⊕ I et l’homomorphisme a −→ f
∗ a + Da de O Y dans f ∗ (O X ⊕ I).
Observons que si f : X −→ Y est un morphisme localement de pr´ esentation
finie de sch´ emas affines (i.e. correspondant ` a un homomorphisme d’anneaux
A −→ B faisant de B une A-alg` ebre de pr´ esentation finie), alors, pour que f
soit lisse, il faut et il suffit que, pour tout O X -module quasi-coh´ erent I, on ait
Ext Y (X, I) = 0 (la suffisance d´ ecoule de la d´ efinition, et la n´ ecessit´ e a d´ ej` a ´ et´ e
not´ ee plus haut).
Les assertions 2.4 (b) et (c) ont des r´ eciproques, qui fournissent des crit` eres
de lissit´ e tr` es commodes. Leur v´ erification est facile ` a partir des consid´ erations
pr´ ec´ edentes.
Proposition 2.6. (a) Dans la situation de 1.4, supposons gf lisse. Alors, si la suite
(2.4.1) est exacte et localement scind´ ee, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique
f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S est un isomorphisme, f est ´ etale.
(b) Dans la situation de 1.5, supposons g lisse. Alors, si la suite (2.4.2) est exacte et
localement scind´ ee, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y
est un isomorphisme, f est ´ etale.
2.7. Soit f : X −→ Y un morphisme lisse, et soit x un point de X, notons k(x)
le corps r´ esiduel de l’anneau local O X,x . Soient s 1 , . . . , s n des sections de O X au
voisinage de x dont les diff´ erentielles forment une base de Ω
1
X/Y en x, i.e., au choix,
telles que les images (ds i ) x des ds i dans Ω
1
X/Y,x forment une base de ce module
sur O X,x , ou telles que les images (ds i )(x) des ds i dans Ω
1
X/Y ⊗ k(x) forment une
base de cet espace vectoriel sur k(x). Comme Ω
1
X/Y est localement libre de type