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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
est exacte et localement scind´ ee. En particulier, si f est ´ etale, l’homomorphisme canonique f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S est un isomorphisme.
(c) Dans la situation de 1.5, si f est lisse, la suite (1.5.1) prolong´ ee par un z´ ero ` a
gauche
(2.4.2)
0 −→ N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte et localement scind´ ee. En particulier, si f est ´ etale, l’homomorphisme canonique N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y est un isomorphisme.
2.5. La v´ erification de 2.4 n’est pas difficile (EGA IV 17.2.3), mais malheureusement quelque peu ´ eparpill´ ee dans (EGA 0 IV 20). En voici une esquisse.
L’ingr´ edient cl´ e est le suivant. Si f : X −→ Y est un morphisme de sch´ emas
et I un O X -module quasi-coh´ erent, on appelle Y -extension de X par I un Y -
morphisme i : X −→ X
′ qui est un ´ epaississement d’ordre 1 d’id´ eal I. Deux
Y -extensions i 1 : X −→ X 1 et i 2 : X −→ X 2 de X par I sont dites ´ equivalentes
s’il existe un Y -isomorphisme g de X 1 sur X 2 tel que gi 1 = i 2 et que g induise
l’identit´ e sur I. Une construction analogue ` a celle de la “somme de Baer” pour les
extensions de modules sur un anneau munit l’ensemble
Ext Y (X, I)
des classes d’´ equivalence de Y -extensions de X par I d’une structure de groupe
ab´ elien, d’´ el´ ement neutre l’extension triviale d´ efinie par l’alg` ebre des nombres
duaux O X ⊕ I.
L’assertion (c) d´ ecoule imm´ ediatement de la d´ efinition : la lissit´ e de f implique
en effet que le premier voisinage infinit´ esimal i 1 de i se r´ etracte localement sur X,
et le choix d’une r´ etraction r permet de scinder (2.4.2) (par la d´ erivation associ´ ee
` a Id Z 1 −i 1 ◦ r, cf. (1.2.6)).
Supposons f lisse. Si I est un O X -module quasi-coh´ erent et i : X −→ Z est
une Y -extension de X par I, la suite (2.4.2) est donc une extension de O X -modules
e(i) de Ω
1
X/Y par I. On v´ erifie que i −→ e(i) donne un isomorphisme
(2.5.1)
Ext Y (X, I)
∼
−→ Ext
1
O X
(Ω
1
X/Y , I)
(cf. [I1] I, chap. II, 1.1.9 : on d´ efinit un inverse de (2.5.1) en associant ` a une
extension M de Ω
1
X/Y par I la Y -extension Z de X d´ efinie de la mani` ere
suivante : identifions, grˆ ace ` a j 1 , le faisceau des parties principales P
1
X/Y (1.2.2)
` a l’anneau des nombres duaux O X ⊕ Ω
1
X/Y , et notons F = O X ⊕ M l’anneau
des nombres duaux sur M ; l’extension M fait de F une f
−1 (O Y )-extension de
P
1
X/Y par I ; soit E = F × P 1
X/Y
O X le “pull-back” de F par l’homomorphisme
j 2 = j 1 + d X/Y : O X −→ P
1
X/Y ; E est une f
−1 (O Y )-extension de O X par I,
qui d´ efinit la Y -extension Z). Comme f est lisse, toute Y -extension de X par
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
est exacte et localement scind´ ee. En particulier, si f est ´ etale, l’homomorphisme canonique f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S est un isomorphisme.
(c) Dans la situation de 1.5, si f est lisse, la suite (1.5.1) prolong´ ee par un z´ ero ` a
gauche
(2.4.2)
0 −→ N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte et localement scind´ ee. En particulier, si f est ´ etale, l’homomorphisme canonique N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y est un isomorphisme.
2.5. La v´ erification de 2.4 n’est pas difficile (EGA IV 17.2.3), mais malheureusement quelque peu ´ eparpill´ ee dans (EGA 0 IV 20). En voici une esquisse.
L’ingr´ edient cl´ e est le suivant. Si f : X −→ Y est un morphisme de sch´ emas
et I un O X -module quasi-coh´ erent, on appelle Y -extension de X par I un Y -
morphisme i : X −→ X
′ qui est un ´ epaississement d’ordre 1 d’id´ eal I. Deux
Y -extensions i 1 : X −→ X 1 et i 2 : X −→ X 2 de X par I sont dites ´ equivalentes
s’il existe un Y -isomorphisme g de X 1 sur X 2 tel que gi 1 = i 2 et que g induise
l’identit´ e sur I. Une construction analogue ` a celle de la “somme de Baer” pour les
extensions de modules sur un anneau munit l’ensemble
Ext Y (X, I)
des classes d’´ equivalence de Y -extensions de X par I d’une structure de groupe
ab´ elien, d’´ el´ ement neutre l’extension triviale d´ efinie par l’alg` ebre des nombres
duaux O X ⊕ I.
L’assertion (c) d´ ecoule imm´ ediatement de la d´ efinition : la lissit´ e de f implique
en effet que le premier voisinage infinit´ esimal i 1 de i se r´ etracte localement sur X,
et le choix d’une r´ etraction r permet de scinder (2.4.2) (par la d´ erivation associ´ ee
` a Id Z 1 −i 1 ◦ r, cf. (1.2.6)).
Supposons f lisse. Si I est un O X -module quasi-coh´ erent et i : X −→ Z est
une Y -extension de X par I, la suite (2.4.2) est donc une extension de O X -modules
e(i) de Ω
1
X/Y par I. On v´ erifie que i −→ e(i) donne un isomorphisme
(2.5.1)
Ext Y (X, I)
∼
−→ Ext
1
O X
(Ω
1
X/Y , I)
(cf. [I1] I, chap. II, 1.1.9 : on d´ efinit un inverse de (2.5.1) en associant ` a une
extension M de Ω
1
X/Y par I la Y -extension Z de X d´ efinie de la mani` ere
suivante : identifions, grˆ ace ` a j 1 , le faisceau des parties principales P
1
X/Y (1.2.2)
` a l’anneau des nombres duaux O X ⊕ Ω
1
X/Y , et notons F = O X ⊕ M l’anneau
des nombres duaux sur M ; l’extension M fait de F une f
−1 (O Y )-extension de
P
1
X/Y par I ; soit E = F × P 1
X/Y
O X le “pull-back” de F par l’homomorphisme
j 2 = j 1 + d X/Y : O X −→ P
1
X/Y ; E est une f
−1 (O Y )-extension de O X par I,
qui d´ efinit la Y -extension Z). Comme f est lisse, toute Y -extension de X par