2. Lissit´ e et rel` evements
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2.2. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On dit que f est lisse (resp.
net (ou non ramifi´ e), resp. ´ etale) si f est localement de pr´ esentation finie et si la
condition suivante est v´ erifi´ ee :
Pour tout diagramme commutatif
X
g 0
f
(2.2.1)
T 0
i
−→ T −→ Y
o` u i est un ´ epaississement d’ordre 1 (1.1), il existe, localement pour la topologie de
Zariski sur T , un (resp. au plus un, resp. un unique) Y -morphisme g : T −→ X tel
que gi = g 0 . Il r´ esulte aussitˆ ot de la d´ efinition que le compos´ e de deux morphismes
lisses (resp. nets, resp. ´ etales) est lisse (resp. net, resp. ´ etale), et que si f : X −→ Y
est lisse (resp. net, resp. ´ etale), il en est de mˆ eme du morphisme f
′ : X
′ −→ Y
′
d´ eduit par un changement de base Y
′ −→ Y . Si pour i = 1, 2, f i : X i −→ Y est
lisse (resp. net, resp. ´ etale), le produit fibr´ e f = f 1 × Y f 2 : X 1 × Y X 2 −→ Y est
donc lisse (resp. net, resp. ´ etale). Il est imm´ ediat d’autre part que la projection
de la droite affine A
1
Y = Y [t] −→ Y est lisse, et il en est donc de mˆ eme de la
projection de l’espace affine A
n
Y −→ Y .
Remarques 2.3. (a) A cause de l’unicit´ e, qui permet un recollement, on peut,
dans la d´ efinition d’´ etale omettre localement pour la topologie de Zariski. Par
contre, on ne peut le faire dans la d´ efinition de lisse : il existe une obstruction
cohomologique, qu’on pr´ ecisera plus loin, ` a l’existence d’un prolongement global g
de g 0 .
(b) Si n est un entier 1, on dit qu’un morphisme de sch´ emas i : T 0 −→ T est
un ´ epaississement d’ordre n si i est une immersion ferm´ ee d´ efinie par un id´ eal I
tel que I
n+1 = 0. Si T m d´ esigne le sous-sch´ ema ferm´ e de T d´ efini par I
m+1 , i se
factorise en une suite d’´ epaississements d’ordre 1 :
T 0 −→ T 1 −→ · · · −→ T m −→ T m+1 −→ · · · −→ T n .
Dans la d´ efinition 2.2, on peut donc remplacer ´ epaississement d’ordre 1 par ´ epaississement d’ordre n.
La proposition suivante r´ esume les propri´ et´ es diff´ erentielles essentielles des
morphismes lisses (resp. nets, resp. ´ etales).
Proposition 2.4. (a) si f : X −→ Y est lisse (resp. net), le O X -module Ω
1
X/Y est
localement libre de type fini (resp. nul).
(b) Dans la situation de 1.4, si f est lisse, la suite (1.4.1) prolong´ ee par un z´ ero ` a
gauche
(2.4.1)
0 −→ f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S −→ Ω
1
X/Y −→ 0
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2.2. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On dit que f est lisse (resp.
net (ou non ramifi´ e), resp. ´ etale) si f est localement de pr´ esentation finie et si la
condition suivante est v´ erifi´ ee :
Pour tout diagramme commutatif
X
g 0
f
(2.2.1)
T 0
i
−→ T −→ Y
o` u i est un ´ epaississement d’ordre 1 (1.1), il existe, localement pour la topologie de
Zariski sur T , un (resp. au plus un, resp. un unique) Y -morphisme g : T −→ X tel
que gi = g 0 . Il r´ esulte aussitˆ ot de la d´ efinition que le compos´ e de deux morphismes
lisses (resp. nets, resp. ´ etales) est lisse (resp. net, resp. ´ etale), et que si f : X −→ Y
est lisse (resp. net, resp. ´ etale), il en est de mˆ eme du morphisme f
′ : X
′ −→ Y
′
d´ eduit par un changement de base Y
′ −→ Y . Si pour i = 1, 2, f i : X i −→ Y est
lisse (resp. net, resp. ´ etale), le produit fibr´ e f = f 1 × Y f 2 : X 1 × Y X 2 −→ Y est
donc lisse (resp. net, resp. ´ etale). Il est imm´ ediat d’autre part que la projection
de la droite affine A
1
Y = Y [t] −→ Y est lisse, et il en est donc de mˆ eme de la
projection de l’espace affine A
n
Y −→ Y .
Remarques 2.3. (a) A cause de l’unicit´ e, qui permet un recollement, on peut,
dans la d´ efinition d’´ etale omettre localement pour la topologie de Zariski. Par
contre, on ne peut le faire dans la d´ efinition de lisse : il existe une obstruction
cohomologique, qu’on pr´ ecisera plus loin, ` a l’existence d’un prolongement global g
de g 0 .
(b) Si n est un entier 1, on dit qu’un morphisme de sch´ emas i : T 0 −→ T est
un ´ epaississement d’ordre n si i est une immersion ferm´ ee d´ efinie par un id´ eal I
tel que I
n+1 = 0. Si T m d´ esigne le sous-sch´ ema ferm´ e de T d´ efini par I
m+1 , i se
factorise en une suite d’´ epaississements d’ordre 1 :
T 0 −→ T 1 −→ · · · −→ T m −→ T m+1 −→ · · · −→ T n .
Dans la d´ efinition 2.2, on peut donc remplacer ´ epaississement d’ordre 1 par ´ epaississement d’ordre n.
La proposition suivante r´ esume les propri´ et´ es diff´ erentielles essentielles des
morphismes lisses (resp. nets, resp. ´ etales).
Proposition 2.4. (a) si f : X −→ Y est lisse (resp. net), le O X -module Ω
1
X/Y est
localement libre de type fini (resp. nul).
(b) Dans la situation de 1.4, si f est lisse, la suite (1.4.1) prolong´ ee par un z´ ero ` a
gauche
(2.4.1)
0 −→ f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S −→ Ω
1
X/Y −→ 0