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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
la i-i` eme puissance ext´ erieure du O X -module Ω
1
X/Y (on convient que Ω
0
X/Y = O X ).
On montre qu’il existe une unique famille d’applications d : Ω
i
X/Y −→ Ω
i+1
X/Y
v´ erifiant les conditions suivantes :
(a) d est une Y -anti-d´ erivation de l’alg` ebre ext´ erieure
Ω
i
X/Y , i.e. d est f
−1 (O Y )lin´ eaire et d(ab) = da ∧ b + (−1)
i a ∧ db pour a homog` ene de degr´ e i,
(b) d
2 = 0,
(c) da = d X/Y (a) pour a de degr´ e z´ ero.
Le complexe correspondant se nomme complexe de De Rham de X sur Y et se
note
(1.7.1)
Ω
•
X/Y
(ou Ω
•
X/A si Y est affine d’anneau A). Il d´ epend fonctoriellement de f : un carr´ e
(1.3.1) donne un homomorphisme de complexes (qui est aussi un homomorphisme
d’alg` ebres)
(1.7.2)
Ω
•
X/Y −→ g ∗ Ω
•
X ′ /Y ′ .
Prendre garde cependant que, s’il est vrai que, pour chaque i, l’homomorphisme
Ω
i
X/Y −→ g ∗ Ω
i
X ′ /Y ′ est adjoint d’un homomorphisme g
∗ Ω
i
X/Y −→ Ω
i
X ′ /Y ′ , on ne
peut en g´ en´ eral d´ efinir un complexe g
∗ Ω
•
X/Y dont la diff´ erentielle soit une Y
′ -antid´ erivation compatible ` a celle de Ω
•
X ′ /Y ′ .
2. Lissit´ e et rel` evements
Il y a bien des fa¸ cons d’exposer la th´ eorie des morphismes lisses. Nous suivons
(ou plutˆ ot, r´ esumons) ici la pr´ esentation des EGA, o` u la lissit´ e est d´ efinie par
l’existence locale de rel` evements infinit´ esimaux (EGA IV 17). Outre son ´ el´ egance,
cette d´ efinition a l’avantage de se transposer ` a d’autres contextes, par exemple
celui de la g´ eom´ etrie logarithmique (cf. [I6]). D’autres points de vue sont adopt´ es
dans (SGA 1 II et III), o` u l’accent est mis sur la notion de morphisme ´ etale, et
[B-L-R] 2.2, o` u c’est le crit` ere jacobien (cf. 2.8) qui est pris comme point de d´ epart.
2.1. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On dit que f est localement
de type fini (resp. localement de pr´ esentation finie) si, pour tout point x de X,
il existe un voisinage ouvert affine U de x et un voisinage ouvert affine V de
y = f (x) tels que f (U ) ⊂ V et que l’homomorphisme d’anneaux A −→ B associ´ e
` a U −→ V fasse de B une A-alg` ebre de type fini (i.e. quotient d’une alg` ebre de
polynˆ omes A[t 1 , . . . , t n ]) (resp. de pr´ esentation finie (i.e. quotient d’une alg` ebre de
polynˆ omes A[t 1 , . . . , t n ] par un id´ eal de type fini)). Si Y est localement noeth´ erien,
“localement de type fini” ´ equivaut ` a “localement de pr´ esentation finie”, et s’il en
est ainsi, X est alors localement noeth´ erien.
Si f : X −→ Y est localement de type fini (resp. de pr´ esentation finie), le
O X -module Ω
1
X/Y est de type fini (resp. de pr´ esentation finie).
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
la i-i` eme puissance ext´ erieure du O X -module Ω
1
X/Y (on convient que Ω
0
X/Y = O X ).
On montre qu’il existe une unique famille d’applications d : Ω
i
X/Y −→ Ω
i+1
X/Y
v´ erifiant les conditions suivantes :
(a) d est une Y -anti-d´ erivation de l’alg` ebre ext´ erieure
Ω
i
X/Y , i.e. d est f
−1 (O Y )lin´ eaire et d(ab) = da ∧ b + (−1)
i a ∧ db pour a homog` ene de degr´ e i,
(b) d
2 = 0,
(c) da = d X/Y (a) pour a de degr´ e z´ ero.
Le complexe correspondant se nomme complexe de De Rham de X sur Y et se
note
(1.7.1)
Ω
•
X/Y
(ou Ω
•
X/A si Y est affine d’anneau A). Il d´ epend fonctoriellement de f : un carr´ e
(1.3.1) donne un homomorphisme de complexes (qui est aussi un homomorphisme
d’alg` ebres)
(1.7.2)
Ω
•
X/Y −→ g ∗ Ω
•
X ′ /Y ′ .
Prendre garde cependant que, s’il est vrai que, pour chaque i, l’homomorphisme
Ω
i
X/Y −→ g ∗ Ω
i
X ′ /Y ′ est adjoint d’un homomorphisme g
∗ Ω
i
X/Y −→ Ω
i
X ′ /Y ′ , on ne
peut en g´ en´ eral d´ efinir un complexe g
∗ Ω
•
X/Y dont la diff´ erentielle soit une Y
′ -antid´ erivation compatible ` a celle de Ω
•
X ′ /Y ′ .
2. Lissit´ e et rel` evements
Il y a bien des fa¸ cons d’exposer la th´ eorie des morphismes lisses. Nous suivons
(ou plutˆ ot, r´ esumons) ici la pr´ esentation des EGA, o` u la lissit´ e est d´ efinie par
l’existence locale de rel` evements infinit´ esimaux (EGA IV 17). Outre son ´ el´ egance,
cette d´ efinition a l’avantage de se transposer ` a d’autres contextes, par exemple
celui de la g´ eom´ etrie logarithmique (cf. [I6]). D’autres points de vue sont adopt´ es
dans (SGA 1 II et III), o` u l’accent est mis sur la notion de morphisme ´ etale, et
[B-L-R] 2.2, o` u c’est le crit` ere jacobien (cf. 2.8) qui est pris comme point de d´ epart.
2.1. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. On dit que f est localement
de type fini (resp. localement de pr´ esentation finie) si, pour tout point x de X,
il existe un voisinage ouvert affine U de x et un voisinage ouvert affine V de
y = f (x) tels que f (U ) ⊂ V et que l’homomorphisme d’anneaux A −→ B associ´ e
` a U −→ V fasse de B une A-alg` ebre de type fini (i.e. quotient d’une alg` ebre de
polynˆ omes A[t 1 , . . . , t n ]) (resp. de pr´ esentation finie (i.e. quotient d’une alg` ebre de
polynˆ omes A[t 1 , . . . , t n ] par un id´ eal de type fini)). Si Y est localement noeth´ erien,
“localement de type fini” ´ equivaut ` a “localement de pr´ esentation finie”, et s’il en
est ainsi, X est alors localement noeth´ erien.
Si f : X −→ Y est localement de type fini (resp. de pr´ esentation finie), le
O X -module Ω
1
X/Y est de type fini (resp. de pr´ esentation finie).