1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de De Rham
119
d´ efinit de fa¸ con naturelle un homomorphisme de O X ′ -modules
(1.3.2)
g
∗ Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X ′ /Y ′ ,
dit canonique, envoyant 1 ⊗ g
−1 (d X/Y s) sur d X ′ /Y ′ (1 ⊗ g
−1 (s)) (si E est un O X -
module, par d´ efinition g
∗ E = O X ′ ⊗ g −1 (O X ) g
−1 (E)). C’est un isomorphisme
si le carr´ e (1.3.1) est cart´ esien, i.e. si le morphisme X
′ −→ Y
′ × Y X est un
isomorphisme. En outre, dans ce cas, l’homomorphisme canonique
(1.3.3)
f
′ ∗ Ω
1
Y ′ /Y ⊕ g
∗ Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X ′ /Y
est un isomorphisme.
1.4. Soient
X
f
−→ Y
g
−→ S
des morphismes de sch´ emas. Alors la suite d’homorphismes canoniques
(1.4.1)
f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte.
1.5. Soit
X
i
−→ Z
f
ւg
Y
un triangle commutatif, o` u i est une immersion, d’id´ eal I. La diff´ erentielle d Z/Y
induit un homomorphisme d : N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y , et la suite
(1.5.1)
N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte.
1.6. Soit X = A
n
Y = Y [T 1 , . . . , T n ] l’espace affine de dimension n sur Y . Le O X -
module Ω
1
X/Y est libre, de base les dT i (1 i n). Si Y est affine, d’anneau A, et
si s ∈ A[T 1 , . . . , T n ], ds =
(∂s/∂T i )dT i , o` u les ∂s/∂T i sont les d´ eriv´ ees partielles
usuelles.
Les propri´ et´ es 1.3 ` a 1.6, dont la v´ erification est du reste triviale, sont fondamentales. C’est grˆ ace ` a elles qu’on peut “calculer” les modules de diff´ erentielles.
Pour plus de d´ etails, voir les r´ ef´ erences indiqu´ ees supra.
1.7. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. Pour i ∈ N, on note
Ω
i
X/Y = Λ
i Ω
1
X/Y
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d´ efinit de fa¸ con naturelle un homomorphisme de O X ′ -modules
(1.3.2)
g
∗ Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X ′ /Y ′ ,
dit canonique, envoyant 1 ⊗ g
−1 (d X/Y s) sur d X ′ /Y ′ (1 ⊗ g
−1 (s)) (si E est un O X -
module, par d´ efinition g
∗ E = O X ′ ⊗ g −1 (O X ) g
−1 (E)). C’est un isomorphisme
si le carr´ e (1.3.1) est cart´ esien, i.e. si le morphisme X
′ −→ Y
′ × Y X est un
isomorphisme. En outre, dans ce cas, l’homomorphisme canonique
(1.3.3)
f
′ ∗ Ω
1
Y ′ /Y ⊕ g
∗ Ω
1
X/Y −→ Ω
1
X ′ /Y
est un isomorphisme.
1.4. Soient
X
f
−→ Y
g
−→ S
des morphismes de sch´ emas. Alors la suite d’homorphismes canoniques
(1.4.1)
f
∗ Ω
1
Y /S −→ Ω
1
X/S −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte.
1.5. Soit
X
i
−→ Z
f
ւg
Y
un triangle commutatif, o` u i est une immersion, d’id´ eal I. La diff´ erentielle d Z/Y
induit un homomorphisme d : N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y , et la suite
(1.5.1)
N X/Z −→ i
∗ Ω
1
Z/Y −→ Ω
1
X/Y −→ 0
est exacte.
1.6. Soit X = A
n
Y = Y [T 1 , . . . , T n ] l’espace affine de dimension n sur Y . Le O X -
module Ω
1
X/Y est libre, de base les dT i (1 i n). Si Y est affine, d’anneau A, et
si s ∈ A[T 1 , . . . , T n ], ds =
(∂s/∂T i )dT i , o` u les ∂s/∂T i sont les d´ eriv´ ees partielles
usuelles.
Les propri´ et´ es 1.3 ` a 1.6, dont la v´ erification est du reste triviale, sont fondamentales. C’est grˆ ace ` a elles qu’on peut “calculer” les modules de diff´ erentielles.
Pour plus de d´ etails, voir les r´ ef´ erences indiqu´ ees supra.
1.7. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. Pour i ∈ N, on note
Ω
i
X/Y = Λ
i Ω
1
X/Y