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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
est un isomorphisme. Le faisceau Hom(Ω
1
X/Y , O X ) s’appelle faisceau tangent de f
(ou de X sur Y), et se note
(1.2.5)
T X/Y
(ou parfois Θ X/Y ). Pour tout ouvert U de X, (1.2.4) donne un isomorphisme
Γ(U, T X/Y ) ≃ Der Y (O U , O U ). Rappelons qu’on appelle Y -point de X un Y -
morphisme T −→ X. Par d´ efinition, X × Y X “param` etre” l’ensemble des couples
de Y -points de X (i.e. repr´ esente le foncteur correspondant sur la cat´ egorie des
Y -sch´ emas). La signification g´ eom´ etrique du premier voisinage infinit´ esimal Z 1
de la diagonale de X sur Y est qu’il param` etre les couples de Y -points de X
voisins d’ordre 1 (i.e. congrus modulo un id´ eal de carr´ e nul) : plus pr´ ecis´ ement,
si i : T 0 −→ T est un ´ epaississement d’ordre 1, d’id´ eal a, o` u T est un Y -sch´ ema,
et si t 1 , t 2 : T −→ X sont deux Y -points de X qui co¨ ıncident modulo a (i.e.
tels que t 1 i = t 2 i = t 0 : T 0 −→ X), alors il existe un unique Y -morphisme
h : T −→ Z 1 tel que p 1 h = t 1 et p 2 h = t 2 ; de plus, si t
∗
1 , t
∗
2 : O X −→ t 0 ∗ O T
3
sont les homomorphismes de faisceaux d’anneaux associ´ es ` a t 1 et t 2 , t
∗
2 − t
∗
1 est
une Y -d´ erivation de X ` a valeurs dans t 0 ∗ a, telle que
(1.2.6)
(t
∗
2 − t
∗
1 )(s) = h
∗ (ds)
pour toute section locale s de O X , o` u h
∗ : Ω
1
X/Y −→ t
∗
0 a est l’homomophisme
de O X -modules induit par h (sur les faisceaux conormaux correspondants, de X
dans Z 1 et T 0 dans T ). Si f est un morphisme de sch´ emas affines, correspondant
` a un homomorphisme d’anneaux A −→ B, alors Z = Spec B ⊗ A B, ∆ correspond
` a l’homomorphisme d’anneaux envoyant b 1 ⊗ b 2 sur b 1 b 2 , de noyau J = Γ(Z, I).
On a Γ(X, P
1
X/Y ) = (B ⊗ A B)/J
2 , et l’on pose
(1.2.7)
Γ(X, Ω
1
X/Y ) = Ω
1
B/A .
Le B-module Ω
1
B/A = J/J
2 , dont le faisceau quasi-coh´ erent associ´ e est Ω
1
X/Y ,
s’appelle module des 1-diff´ erentielles de K¨ ahler de B sur A. L’application d =
d B/A = Γ(X, d X/Y ) : B −→ Ω
1
B/A est une A-d´ erivation, v´ erifiant une propri´ et´ e
universelle qu’on laisse au lecteur le soin de formuler. Les homomorphismes
j 1 , j 2 : B −→ (B ⊗ A B)/J
2 de 1.1 sont donn´ es par j 1 b = classe de b⊗1, j 2 b = classe
de 1 ⊗ b. Comme J est engendr´ e par les 1 ⊗ b − b ⊗ 1, Ω
1
B/A est engendr´ e, comme
B-module, par l’image de d. Il en r´ esulte que si f est un morphisme de sch´ emas
quelconques, Ω
1
X/Y est engendr´ e, comme O X -module, par l’image de d.
1.3. Tout carr´ e commutatif
X
′ g
−→ X
f
′
f
(1.3.1)
Y
′ h
−→ Y
3 rappelons que T et T 0 ont mˆ eme espace sous-jacent
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
est un isomorphisme. Le faisceau Hom(Ω
1
X/Y , O X ) s’appelle faisceau tangent de f
(ou de X sur Y), et se note
(1.2.5)
T X/Y
(ou parfois Θ X/Y ). Pour tout ouvert U de X, (1.2.4) donne un isomorphisme
Γ(U, T X/Y ) ≃ Der Y (O U , O U ). Rappelons qu’on appelle Y -point de X un Y -
morphisme T −→ X. Par d´ efinition, X × Y X “param` etre” l’ensemble des couples
de Y -points de X (i.e. repr´ esente le foncteur correspondant sur la cat´ egorie des
Y -sch´ emas). La signification g´ eom´ etrique du premier voisinage infinit´ esimal Z 1
de la diagonale de X sur Y est qu’il param` etre les couples de Y -points de X
voisins d’ordre 1 (i.e. congrus modulo un id´ eal de carr´ e nul) : plus pr´ ecis´ ement,
si i : T 0 −→ T est un ´ epaississement d’ordre 1, d’id´ eal a, o` u T est un Y -sch´ ema,
et si t 1 , t 2 : T −→ X sont deux Y -points de X qui co¨ ıncident modulo a (i.e.
tels que t 1 i = t 2 i = t 0 : T 0 −→ X), alors il existe un unique Y -morphisme
h : T −→ Z 1 tel que p 1 h = t 1 et p 2 h = t 2 ; de plus, si t
∗
1 , t
∗
2 : O X −→ t 0 ∗ O T
3
sont les homomorphismes de faisceaux d’anneaux associ´ es ` a t 1 et t 2 , t
∗
2 − t
∗
1 est
une Y -d´ erivation de X ` a valeurs dans t 0 ∗ a, telle que
(1.2.6)
(t
∗
2 − t
∗
1 )(s) = h
∗ (ds)
pour toute section locale s de O X , o` u h
∗ : Ω
1
X/Y −→ t
∗
0 a est l’homomophisme
de O X -modules induit par h (sur les faisceaux conormaux correspondants, de X
dans Z 1 et T 0 dans T ). Si f est un morphisme de sch´ emas affines, correspondant
` a un homomorphisme d’anneaux A −→ B, alors Z = Spec B ⊗ A B, ∆ correspond
` a l’homomorphisme d’anneaux envoyant b 1 ⊗ b 2 sur b 1 b 2 , de noyau J = Γ(Z, I).
On a Γ(X, P
1
X/Y ) = (B ⊗ A B)/J
2 , et l’on pose
(1.2.7)
Γ(X, Ω
1
X/Y ) = Ω
1
B/A .
Le B-module Ω
1
B/A = J/J
2 , dont le faisceau quasi-coh´ erent associ´ e est Ω
1
X/Y ,
s’appelle module des 1-diff´ erentielles de K¨ ahler de B sur A. L’application d =
d B/A = Γ(X, d X/Y ) : B −→ Ω
1
B/A est une A-d´ erivation, v´ erifiant une propri´ et´ e
universelle qu’on laisse au lecteur le soin de formuler. Les homomorphismes
j 1 , j 2 : B −→ (B ⊗ A B)/J
2 de 1.1 sont donn´ es par j 1 b = classe de b⊗1, j 2 b = classe
de 1 ⊗ b. Comme J est engendr´ e par les 1 ⊗ b − b ⊗ 1, Ω
1
B/A est engendr´ e, comme
B-module, par l’image de d. Il en r´ esulte que si f est un morphisme de sch´ emas
quelconques, Ω
1
X/Y est engendr´ e, comme O X -module, par l’image de d.
1.3. Tout carr´ e commutatif
X
′ g
−→ X
f
′
f
(1.3.1)
Y
′ h
−→ Y
3 rappelons que T et T 0 ont mˆ eme espace sous-jacent