1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de De Rham
117
o` u h 1 est une immersion, et j 1 est un ´ epaississement d’ordre 1, d’id´ eal I/I
2 ; on
dit que (j 1 , h 1 ), ou plus simplement Z 1 , est le premier voisinage infinit´ esimal de j
(ou de X dans Z). L’id´ eal I/I
2 (qui est un O X -module quasi-coh´ erent) s’appelle
le faisceau conormal de j (ou de X dans Z). On le note N X/Z .
1.2. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. Soit ∆ : X −→ Z := X × Y X
le morphisme diagonal. C’est une immersion (ferm´ ee si et seulement si X est
s´ epar´ e sur Y ) (EGA I 5.3). Le faisceau conormal de ∆ s’appelle faisceau des
1-diff´ erentielles de K¨ ahler de f (ou de X sur Y ) et se note Ω
1
X/Y ; on ´ ecrit parfois
Ω
1
X/A au lieu de Ω
1
X/Y si Y est affine d’anneau A. C’est donc un O X -module
quasi-coh´ erent, d´ efini par
(1.2.1)
Ω
1
X/Y = I/I
2 ,
o` u I est l’id´ eal de ∆. Soit X
∆ 1
−→ Z 1 −→ Z le premier voisinage infinit´ esimal
de ∆. Les deux projections de Z = X × Y X sur X induisent, par composition
avec Z 1 −→ Z, deux Y -morphismes p 1 , p 2 : Z 1 −→ X, qui r´ etractent ∆ 1 . Le
faisceau d’anneaux du sch´ ema Z 1 , qui a mˆ eme espace sous-jacent que X, s’appelle
faisceau des parties principales d’ordre 1 de X sur Y , et se note P
1
X/Y . On a par
construction une suite exacte de faisceaux ab´ eliens
(1.2.2)
0 −→ Ω
1
X/Y −→ P
1
X/Y −→ O X −→ 0,
scind´ ee par chacun des homomorphismes d’anneaux j 1 , j 2 : O X −→ P
1
X/Y d´ eduits
de p 1 , p 2 . La diff´ erence j 2 − j 1 est un homomorphisme de faisceaux ab´ eliens de O X
dans Ω
1
X/Y , qu’on appelle diff´ erentielle, et qu’on note
(1.2.3)
d X/Y (ou d) : O X −→ Ω
1
X/Y .
Si M est un O X -module, on appelle Y -d´ erivation de O X dans M tout homomorphisme de faisceaux de f
−1 (O Y )-modules D : O X −→ M (o` u f
−1 d´ esigne le
foncteur image inverse pour les faisceaux ab´ eliens) tel que
D(ab) = aDb + bDa
pour toutes sections locales a, b de O X . On note Der Y (O X , M ) l’ensemble des
Y -d´ erivations de O X dans M , qui est de mani` ere naturelle un groupe ab´ elien. La
diff´ erentielle d X/Y est une Y -d´ erivation de O X dans Ω
1
X/Y . On montre qu’elle est
universelle, dans le sens que pour toute Y -d´ erivation D de O X dans un O X -module
M (non n´ ecessairement quasi-coh´ erent), il existe un unique homomorphisme de
O X -modules u : Ω
1
X/Y −→ M tel que u ◦ d X/Y = D, i.e. l’homomorphisme
(1.2.4)
Hom(Ω
1
X/Y , M ) −→ Der Y (O X , M ),
u −→ u ◦ d X/Y
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o` u h 1 est une immersion, et j 1 est un ´ epaississement d’ordre 1, d’id´ eal I/I
2 ; on
dit que (j 1 , h 1 ), ou plus simplement Z 1 , est le premier voisinage infinit´ esimal de j
(ou de X dans Z). L’id´ eal I/I
2 (qui est un O X -module quasi-coh´ erent) s’appelle
le faisceau conormal de j (ou de X dans Z). On le note N X/Z .
1.2. Soit f : X −→ Y un morphisme de sch´ emas. Soit ∆ : X −→ Z := X × Y X
le morphisme diagonal. C’est une immersion (ferm´ ee si et seulement si X est
s´ epar´ e sur Y ) (EGA I 5.3). Le faisceau conormal de ∆ s’appelle faisceau des
1-diff´ erentielles de K¨ ahler de f (ou de X sur Y ) et se note Ω
1
X/Y ; on ´ ecrit parfois
Ω
1
X/A au lieu de Ω
1
X/Y si Y est affine d’anneau A. C’est donc un O X -module
quasi-coh´ erent, d´ efini par
(1.2.1)
Ω
1
X/Y = I/I
2 ,
o` u I est l’id´ eal de ∆. Soit X
∆ 1
−→ Z 1 −→ Z le premier voisinage infinit´ esimal
de ∆. Les deux projections de Z = X × Y X sur X induisent, par composition
avec Z 1 −→ Z, deux Y -morphismes p 1 , p 2 : Z 1 −→ X, qui r´ etractent ∆ 1 . Le
faisceau d’anneaux du sch´ ema Z 1 , qui a mˆ eme espace sous-jacent que X, s’appelle
faisceau des parties principales d’ordre 1 de X sur Y , et se note P
1
X/Y . On a par
construction une suite exacte de faisceaux ab´ eliens
(1.2.2)
0 −→ Ω
1
X/Y −→ P
1
X/Y −→ O X −→ 0,
scind´ ee par chacun des homomorphismes d’anneaux j 1 , j 2 : O X −→ P
1
X/Y d´ eduits
de p 1 , p 2 . La diff´ erence j 2 − j 1 est un homomorphisme de faisceaux ab´ eliens de O X
dans Ω
1
X/Y , qu’on appelle diff´ erentielle, et qu’on note
(1.2.3)
d X/Y (ou d) : O X −→ Ω
1
X/Y .
Si M est un O X -module, on appelle Y -d´ erivation de O X dans M tout homomorphisme de faisceaux de f
−1 (O Y )-modules D : O X −→ M (o` u f
−1 d´ esigne le
foncteur image inverse pour les faisceaux ab´ eliens) tel que
D(ab) = aDb + bDa
pour toutes sections locales a, b de O X . On note Der Y (O X , M ) l’ensemble des
Y -d´ erivations de O X dans M , qui est de mani` ere naturelle un groupe ab´ elien. La
diff´ erentielle d X/Y est une Y -d´ erivation de O X dans Ω
1
X/Y . On montre qu’elle est
universelle, dans le sens que pour toute Y -d´ erivation D de O X dans un O X -module
M (non n´ ecessairement quasi-coh´ erent), il existe un unique homomorphisme de
O X -modules u : Ω
1
X/Y −→ M tel que u ◦ d X/Y = D, i.e. l’homomorphisme
(1.2.4)
Hom(Ω
1
X/Y , M ) −→ Der Y (O X , M ),
u −→ u ◦ d X/Y