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L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
conduisit, peu de temps apr` es, ` a la d´ emonstration ´ el´ ementaire pr´ esent´ ee dans
[D-I]. Nous renvoyons ` a l’introduction de [D-I] et ` a [O] pour un aper¸ cu de ses
grandes lignes. Indiquons seulement que la d´ eg´ en´ erescence de (0.11) (pour k de caract´ eristique nulle) se prouve par r´ eduction au cas o` u k est de caract´ eristique > 0,
o` u, pourtant, il peut arriver que la d´ eg´ en´ erescence soit en d´ efaut ! Celle-ci vaut
cependant moyennant certaines hypoth` eses suppl´ ementaires sur X (majoration de
la dimension, relevabilit´ e), qui suffisent (voir 5.6 pour un ´ enonc´ e pr´ ecis). Nous
expliquons au n
◦ 6 la technique bien connue permettant de remonter de la caract´ eristique > 0 ` a la caract´ eristique nulle. Le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence en
caract´ eristique > 0 auquel nous venons de faire allusion r´ esulte lui-mˆ eme d’un
th´ eor` eme de d´ ecomposition (5.1), reposant sur des propri´ et´ es classiques du calcul diff´ erentiel en caract´ eristique > 0 (endomorphisme de Frobenius et isomorphisme de Cartier), que nous rappelons au n
◦ 3, apr` es avoir r´ esum´ e, aux n
◦ 1 et
2, le formalisme des diff´ erentielles et de la lissit´ e sur les sch´ emas. Le th´ eor` eme de
d´ ecomposition pr´ ec´ edent fournit en mˆ eme temps une d´ emonstration alg´ ebrique du
th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour les vari´ et´ es projectives
lisses sur un corps de caract´ eristique nulle (6.10 et [De] 11.7). Les deux derniers
num´ eros sont de nature plus technique : nous esquissons l’´ evolution du sujet depuis
la parution de [D-I], et, en appendice, donnons quelques compl´ ements relatifs ` a
des r´ esultats de Mehta-Srinivas [Me-Sr] et Nakkajima [Na].
1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de De Rham
Nous rappelons ici les d´ efinitions et propri´ et´ es de base du calcul diff´ erentiel
sur les sch´ emas. Le lecteur trouvera un expos´ e complet dans (EGA IV 16.1-16.6) ;
voir aussi [B-L-R] 2.1 et [H2] II 8 pour une introduction.
1.1. On dit qu’un morphisme de sch´ emas i : T 0 −→ T est un ´ epaississement
d’ordre 1 (ou, par abus, que T est un ´ epaississement d’ordre 1 de T 0 ) si i est une
immersion ferm´ ee d´ efinie par un id´ eal de O T de carr´ e nul. Si T et T 0 sont affines,
d’anneaux A et A 0 , un tel morphisme correspond ` a un homomorphisme surjectif
A −→ A 0 dont le noyau est un id´ eal de carr´ e nul. Les sch´ emas T et T 0 ont mˆ eme
espace sous-jacent, et l’id´ eal a de i, annul´ e par a, est un O T 0 ( = O T /a)-module
quasi-coh´ erent.
Soit j : X −→ Z une immersion, d’id´ eal I (par d´ efinition, j est un isomorphisme de X sur un sous-sch´ ema ferm´ e j(X) d’un plus grand ouvert U de Z, et I
est le faisceau quasi-coh´ erent d’id´ eaux de U d´ efinissant j(X) dans U , (EGA I 4.1,
4.2)). Soit Z 1 le sous-sch´ ema
2 de Z, de mˆ eme espace sous-jacent que X, d´ efini par
l’id´ eal I
2 . Alors j se factorise (de mani` ere unique) en
X
j 1
−→ Z 1
h 1
−→ Z
2 On se permettra l’abus de confondre “immersion” (resp. “immersion ferm´ ee”) et “soussch´ ema” (resp. “sous-sch´ ema ferm´ e”) ; cela revient ici `
a n´ egliger l’isomorphisme de X sur j(X).
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
conduisit, peu de temps apr` es, ` a la d´ emonstration ´ el´ ementaire pr´ esent´ ee dans
[D-I]. Nous renvoyons ` a l’introduction de [D-I] et ` a [O] pour un aper¸ cu de ses
grandes lignes. Indiquons seulement que la d´ eg´ en´ erescence de (0.11) (pour k de caract´ eristique nulle) se prouve par r´ eduction au cas o` u k est de caract´ eristique > 0,
o` u, pourtant, il peut arriver que la d´ eg´ en´ erescence soit en d´ efaut ! Celle-ci vaut
cependant moyennant certaines hypoth` eses suppl´ ementaires sur X (majoration de
la dimension, relevabilit´ e), qui suffisent (voir 5.6 pour un ´ enonc´ e pr´ ecis). Nous
expliquons au n
◦ 6 la technique bien connue permettant de remonter de la caract´ eristique > 0 ` a la caract´ eristique nulle. Le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence en
caract´ eristique > 0 auquel nous venons de faire allusion r´ esulte lui-mˆ eme d’un
th´ eor` eme de d´ ecomposition (5.1), reposant sur des propri´ et´ es classiques du calcul diff´ erentiel en caract´ eristique > 0 (endomorphisme de Frobenius et isomorphisme de Cartier), que nous rappelons au n
◦ 3, apr` es avoir r´ esum´ e, aux n
◦ 1 et
2, le formalisme des diff´ erentielles et de la lissit´ e sur les sch´ emas. Le th´ eor` eme de
d´ ecomposition pr´ ec´ edent fournit en mˆ eme temps une d´ emonstration alg´ ebrique du
th´ eor` eme d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour les vari´ et´ es projectives
lisses sur un corps de caract´ eristique nulle (6.10 et [De] 11.7). Les deux derniers
num´ eros sont de nature plus technique : nous esquissons l’´ evolution du sujet depuis
la parution de [D-I], et, en appendice, donnons quelques compl´ ements relatifs ` a
des r´ esultats de Mehta-Srinivas [Me-Sr] et Nakkajima [Na].
1. Sch´ emas : diff´ erentielles, complexe de De Rham
Nous rappelons ici les d´ efinitions et propri´ et´ es de base du calcul diff´ erentiel
sur les sch´ emas. Le lecteur trouvera un expos´ e complet dans (EGA IV 16.1-16.6) ;
voir aussi [B-L-R] 2.1 et [H2] II 8 pour une introduction.
1.1. On dit qu’un morphisme de sch´ emas i : T 0 −→ T est un ´ epaississement
d’ordre 1 (ou, par abus, que T est un ´ epaississement d’ordre 1 de T 0 ) si i est une
immersion ferm´ ee d´ efinie par un id´ eal de O T de carr´ e nul. Si T et T 0 sont affines,
d’anneaux A et A 0 , un tel morphisme correspond ` a un homomorphisme surjectif
A −→ A 0 dont le noyau est un id´ eal de carr´ e nul. Les sch´ emas T et T 0 ont mˆ eme
espace sous-jacent, et l’id´ eal a de i, annul´ e par a, est un O T 0 ( = O T /a)-module
quasi-coh´ erent.
Soit j : X −→ Z une immersion, d’id´ eal I (par d´ efinition, j est un isomorphisme de X sur un sous-sch´ ema ferm´ e j(X) d’un plus grand ouvert U de Z, et I
est le faisceau quasi-coh´ erent d’id´ eaux de U d´ efinissant j(X) dans U , (EGA I 4.1,
4.2)). Soit Z 1 le sous-sch´ ema
2 de Z, de mˆ eme espace sous-jacent que X, d´ efini par
l’id´ eal I
2 . Alors j se factorise (de mani` ere unique) en
X
j 1
−→ Z 1
h 1
−→ Z
2 On se permettra l’abus de confondre “immersion” (resp. “immersion ferm´ ee”) et “soussch´ ema” (resp. “sous-sch´ ema ferm´ e”) ; cela revient ici `
a n´ egliger l’isomorphisme de X sur j(X).