0. Introduction
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Zariski, dont les composantes sont des faisceaux coh´ erents localement libres). Le
morphisme canonique (d’espaces annel´ es) X −→ X induit des homomorphismes
sur les cohomologies de Hodge et de De Rham
H
q (X, Ω
p
X ) −→ H
q (X, Ω
p
X ),
(0.7)
H
n
DR (X) −→ H
n
DR (X),
(0.8)
o` u H
n
DR (X) = H
n (X, Ω
•
X ). On dispose en fait d’une suite spectrale de Hodge vers
De Rham alg´ ebrique
(0.9)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) =⇒ H
p+q
DR (X),
et d’un morphisme de (0.9) dans (0.2) induisant (0.7) et (0.8) respectivement sur
les termes initiaux et l’aboutissement. Par le th´ eor` eme de comparaison de Serre
[GAGA], (0.7) est un isomorphisme. Il en est donc de mˆ eme de (0.8). Par suite, la
d´ eg´ en´ erescence en E 1 de (0.2) ´ equivaut ` a celle de (0.9), en d’autres termes, si l’on
pose
h
p q (X) = dim H
q (X, Ω
p
X ),
h
n (X) = dim H
n
DR (X),
le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge pour X s’exprime par les relations
(purement alg´ ebriques)
(0.10)
h
n (X) =
p+q=n
h
p q (X).
Plus g´ en´ eralement, si X est un sch´ ema propre et lisse sur un corps k, on peut
consid´ erer le complexe de De Rham Ω
•
X/k de X sur k, et l’on dispose encore d’une
suite spectrale de Hodge vers De Rham
(0.11)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X/k ) =⇒ H
p+q
DR (X/k)
(o` u H
n
DR (X/k) = H
n (X, Ω
•
X/k )), form´ ee de k-espaces vectoriels de dimension finie.
Si k est de caract´ eristique nulle, le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge entraˆ ıne
la d´ eg´ en´ erescence de (0.11) en E 1 : des techniques standard (cf. n
◦ 6) permettent
en effet de se ramener d’abord ` a k = C, puis ` a l’aide du lemme de Chow et de
la r´ esolution des singularit´ es on r´ eduit le cas propre au cas projectif ([D0]). On a
longtemps cherch´ e une d´ emonstration purement alg´ ebrique de la d´ eg´ en´ erescence
de (0.11) en E 1 pour k de caract´ eristique nulle. Faltings [Fa1] fut le premier ` a en
donner une preuve ind´ ependante de la th´ eorie de Hodge
1 . Une simplification de
techniques cristallines dues ` a Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1]
1 Les puristes observent que cette preuve, qui repose sur l’existence d’une d´ ecomposition de
Hodge-Tate pour la cohomologie ´ etale p-adique d’une vari´ et´ e propre et lisse sur un corps local
d’in´ egale caract´ eristique, n’est pas enti` erement “alg´ ebrique”, dans la mesure o` u elle utilise le
th´ eor` eme de comparaison d’Artin-Grothendieck entre cohomologie ´ etale et cohomologie de Betti
pour les vari´ et´ es propres et lisses sur C.
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Zariski, dont les composantes sont des faisceaux coh´ erents localement libres). Le
morphisme canonique (d’espaces annel´ es) X −→ X induit des homomorphismes
sur les cohomologies de Hodge et de De Rham
H
q (X, Ω
p
X ) −→ H
q (X, Ω
p
X ),
(0.7)
H
n
DR (X) −→ H
n
DR (X),
(0.8)
o` u H
n
DR (X) = H
n (X, Ω
•
X ). On dispose en fait d’une suite spectrale de Hodge vers
De Rham alg´ ebrique
(0.9)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) =⇒ H
p+q
DR (X),
et d’un morphisme de (0.9) dans (0.2) induisant (0.7) et (0.8) respectivement sur
les termes initiaux et l’aboutissement. Par le th´ eor` eme de comparaison de Serre
[GAGA], (0.7) est un isomorphisme. Il en est donc de mˆ eme de (0.8). Par suite, la
d´ eg´ en´ erescence en E 1 de (0.2) ´ equivaut ` a celle de (0.9), en d’autres termes, si l’on
pose
h
p q (X) = dim H
q (X, Ω
p
X ),
h
n (X) = dim H
n
DR (X),
le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge pour X s’exprime par les relations
(purement alg´ ebriques)
(0.10)
h
n (X) =
p+q=n
h
p q (X).
Plus g´ en´ eralement, si X est un sch´ ema propre et lisse sur un corps k, on peut
consid´ erer le complexe de De Rham Ω
•
X/k de X sur k, et l’on dispose encore d’une
suite spectrale de Hodge vers De Rham
(0.11)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X/k ) =⇒ H
p+q
DR (X/k)
(o` u H
n
DR (X/k) = H
n (X, Ω
•
X/k )), form´ ee de k-espaces vectoriels de dimension finie.
Si k est de caract´ eristique nulle, le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge entraˆ ıne
la d´ eg´ en´ erescence de (0.11) en E 1 : des techniques standard (cf. n
◦ 6) permettent
en effet de se ramener d’abord ` a k = C, puis ` a l’aide du lemme de Chow et de
la r´ esolution des singularit´ es on r´ eduit le cas propre au cas projectif ([D0]). On a
longtemps cherch´ e une d´ emonstration purement alg´ ebrique de la d´ eg´ en´ erescence
de (0.11) en E 1 pour k de caract´ eristique nulle. Faltings [Fa1] fut le premier ` a en
donner une preuve ind´ ependante de la th´ eorie de Hodge
1 . Une simplification de
techniques cristallines dues ` a Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1]
1 Les puristes observent que cette preuve, qui repose sur l’existence d’une d´ ecomposition de
Hodge-Tate pour la cohomologie ´ etale p-adique d’une vari´ et´ e propre et lisse sur un corps local
d’in´ egale caract´ eristique, n’est pas enti` erement “alg´ ebrique”, dans la mesure o` u elle utilise le
th´ eor` eme de comparaison d’Artin-Grothendieck entre cohomologie ´ etale et cohomologie de Betti
pour les vari´ et´ es propres et lisses sur C.