114
L. Illusie, Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
(nombre de Hodge), on a donc
(0.3)
b n
p+q=n
h
p q ,
avec ´ egalit´ e pour tout n si et seulement si (0.2) d´ eg´ en` ere en E 1 . Supposons de plus
X k¨ ahl´ erienne. Alors, par la th´ eorie de Hodge, la suite spectrale de Hodge de X
d´ eg´ en` ere en E 1 : c’est le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge ([De] 9.9). Notons
0 = F
n+1 ⊂ F
n ⊂ · · · ⊂ F
p = F
p H
n
DR (X) ⊂ · · · ⊂ F
0 = H
n
DR (X)
la filtration aboutissement de la suite spectrale de Hodge (filtration de Hodge) ;
par la d´ eg´ en´ erescence, on a donc un isomorphisme canonique
(0.4)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) ≃ E
p q
∞ = F
p /F
p+1 .
Posons
H
p q = F
p ∩ F
q ,
o` u la barre d´ esigne la conjugaison complexe sur H
n
DR (X), d´ efinie au moyen de (0.1)
et de l’isomorphisme H
n (X, C) ≃ H
n (X, R) ⊗ C ; on a donc
H
p q = H
q p .
La th´ eorie de Hodge fournit en outre les r´ esultats suivants ([De] 9.10) :
(a) l’homomorphisme compos´ e
H
p q ֒−→ F
p H
p+q
DR (X) −→ −→ F
p /F
p+1
est un isomorphisme (i.e. H
p q est un suppl´ ementaire de F
p+1 dans F
p ) ; d’o` u, par
composition avec (0.4), un isomorphisme
(0.5)
H
p q ≃ H
q (X, Ω
p
X ) ;
(b) on a, pour tout n,
(0.6)
H
n
DR (X) =
p+q=n
H
p q ,
(d´ ecomposition de Hodge). Ces r´ esultats s’appliquent notamment ` a la vari´ et´ e
analytique complexe X associ´ ee ` a un sch´ ema projectif lisse X sur C. A la diff´ erence
de (a) et (b), qui sont de nature transcendante, faisant intervenir de mani` ere
essentielle la conjugaison complexe, la d´ eg´ en´ erescence de Hodge peut, dans ce
cas, se formuler de mani` ere purement alg´ ebrique. Le complexe de De Rham de
X est en effet le complexe de faisceaux analytiques associ´ e au complexe de De
Rham alg´ ebrique Ω
•
X de X sur C (un complexe de faisceaux pour la topologie de