Frobenius et d´ eg´ en´ erescence de Hodge
Luc Illusie
Universit´ e de Paris-Sud
D´ epartement de Math´ ematiques
Bˆ atiment 425, 91405 Orsay Cedex, France
Dans [D-I], le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge et le th´ eor` eme d’annulation de KodairaAkizuki-Nakano pour les vari´ et´ es projectives lisses sur un corps de caract´ eristique nulle sont
d´ emontr´ es par des m´ ethodes de g´ eom´ etrie alg´ ebrique de caract´ eristique p > 0. Les pr´ esentes notes
se veulent une introduction `
a ce texte, `
a l’intention du non sp´ ecialiste (qui pourra consulter aussi
l’expos´ e d’Oesterl´ e [O]). Nous ne supposerons donc connus du lecteur que quelques rudiments de
la th´ eorie des sch´ emas (EGA I 1-4, [H2] II 2-3). Par contre, nous demanderons de lui une certaine
familiarit´ e avec l’alg` ebre homologique. Les r´ esultats de [D-I] s’expriment simplement dans le
langage des cat´ egories d´ eriv´ ees. Bien qu’il soit possible d’y ´ eviter le recours, voir par exemple
[E-V], nous avons pr´ ef´ er´ e nous placer dans ce cadre, qui nous paraˆ ıt plus naturel. Toutefois, pour
aider le d´ ebutant, nous rappelons au n ◦ 4 les d´ efinitions de base et quelques points essentiels.
0. Introduction
Soit X une vari´ et´ e analytique complexe. Par le lemme de Poincar´ e, le complexe
de De Rham Ω
•
X des formes holomorphes sur X est une r´ esolution du faisceau
constant C. L’augmentation C −→ Ω
•
X d´ efinit donc, pour tout n, un isomorphisme
(0.1)
H
n (X, C)
∼
−→ H
n
DR (X) = H
n (X, Ω
•
X ),
o` u le second membre, appel´ e cohomologie de De Rham de X (en degr´ e n), est le
n-i` eme groupe d’hypercohomologie de X ` a valeurs dans Ω
•
X . La cohomologie de De
Rham de X est l’aboutissement de la premi` ere suite spectrale d’hypercohomologie
(0.2)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) =⇒ H
p+q
DR (X),
dite suite spectrale de Hodge vers De Rham (ou de Hodge-Fr¨ olicher) (cf. [De]
n
◦ 9). Supposons X compacte. Alors, par le th´ eor` eme de finitude de Cartan-Serre,
les H
q (X, Ω
p
X ), et donc tous les termes de la suite spectrale (0.2) sont des C-espaces
vectoriels de dimension finie. Si l’on pose
b n = dim H
n
DR (X) = dim H
n (X, C)
(n-i` eme nombre de Betti de X) et
h
p q = dim H
q (X, Ω
p
X )
Luc Illusie
Universit´ e de Paris-Sud
D´ epartement de Math´ ematiques
Bˆ atiment 425, 91405 Orsay Cedex, France
Dans [D-I], le th´ eor` eme de d´ eg´ en´ erescence de Hodge et le th´ eor` eme d’annulation de KodairaAkizuki-Nakano pour les vari´ et´ es projectives lisses sur un corps de caract´ eristique nulle sont
d´ emontr´ es par des m´ ethodes de g´ eom´ etrie alg´ ebrique de caract´ eristique p > 0. Les pr´ esentes notes
se veulent une introduction `
a ce texte, `
a l’intention du non sp´ ecialiste (qui pourra consulter aussi
l’expos´ e d’Oesterl´ e [O]). Nous ne supposerons donc connus du lecteur que quelques rudiments de
la th´ eorie des sch´ emas (EGA I 1-4, [H2] II 2-3). Par contre, nous demanderons de lui une certaine
familiarit´ e avec l’alg` ebre homologique. Les r´ esultats de [D-I] s’expriment simplement dans le
langage des cat´ egories d´ eriv´ ees. Bien qu’il soit possible d’y ´ eviter le recours, voir par exemple
[E-V], nous avons pr´ ef´ er´ e nous placer dans ce cadre, qui nous paraˆ ıt plus naturel. Toutefois, pour
aider le d´ ebutant, nous rappelons au n ◦ 4 les d´ efinitions de base et quelques points essentiels.
0. Introduction
Soit X une vari´ et´ e analytique complexe. Par le lemme de Poincar´ e, le complexe
de De Rham Ω
•
X des formes holomorphes sur X est une r´ esolution du faisceau
constant C. L’augmentation C −→ Ω
•
X d´ efinit donc, pour tout n, un isomorphisme
(0.1)
H
n (X, C)
∼
−→ H
n
DR (X) = H
n (X, Ω
•
X ),
o` u le second membre, appel´ e cohomologie de De Rham de X (en degr´ e n), est le
n-i` eme groupe d’hypercohomologie de X ` a valeurs dans Ω
•
X . La cohomologie de De
Rham de X est l’aboutissement de la premi` ere suite spectrale d’hypercohomologie
(0.2)
E
p q
1 = H
q (X, Ω
p
X ) =⇒ H
p+q
DR (X),
dite suite spectrale de Hodge vers De Rham (ou de Hodge-Fr¨ olicher) (cf. [De]
n
◦ 9). Supposons X compacte. Alors, par le th´ eor` eme de finitude de Cartan-Serre,
les H
q (X, Ω
p
X ), et donc tous les termes de la suite spectrale (0.2) sont des C-espaces
vectoriels de dimension finie. Si l’on pose
b n = dim H
n
DR (X) = dim H
n (X, C)
(n-i` eme nombre de Betti de X) et
h
p q = dim H
q (X, Ω
p
X )