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J.-P. Demailly, Th´ eorie de Hodge L 2 et th´ eor` emes d’annulation
Une observation importante est que le th´ eor` eme ci-dessus reste encore valable
lorsque la m´ etrique h de E pr´ esente des singularit´ es. La m´ etrique h est alors donn´ ee
dans chaque carte par un poids e
−2ϕ associ´ e ` a une fonction ϕ plurisousharmonique
(par d´ efinition ϕ est psh si la matrice des d´ eriv´ ees secondes (∂
2 ϕ/∂z j ∂z k ), calcul´ ee
au sens des distributions, est semi-positive en tout point). Compte tenu du
Th´ eor` eme (0.6), il est naturel d’introduire le faisceau d’id´ eaux multiplicateur
I(h) = I(ϕ), constitu´ e des germes de fonctions holomorphes f ∈ O X,x telles que
V
|f |
2 e
−2ϕ converge dans un voisinage V de x assez petit. Un r´ esultat r´ ecent de
A. Nadel [Nad89] garantit que I(ϕ) est toujours un faisceau analytique coh´ erent,
quelles que soient les singularit´ es de ϕ. Dans ce contexte, on d´ eduit de (0.6) la
version qualitative suivante, concernant la cohomologie `
a valeurs dans le faisceau
coh´ erent O(K X ⊗ E) ⊗ I(h) (K X = Λ
n T
⋆
X ´ etant le fibr´ e canonique de X).
0.7. Th´ eor` eme d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω)
une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibr´ e en droites
holomorphe sur X muni d’une m´ etrique hermitienne h singuli` ere de poids ϕ.
Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que la courbure
satisfasse l’in´ egalit´ e i Θ h (E) εω au sens des courants. Alors
H
q
X, O(K X ⊗ E) ⊗ I(h)
= 0
pour tout q 1.
En d´ epit de la relative simplicit´ e des techniques mises en jeu, il s’agit l` a
d’un th´ eor` eme extrˆ emement puissant, qui contient ` a lui seul une bonne partie
des r´ esultats les plus fondamentaux de la g´ eom´ etrie analytique ou alg´ ebrique. Le
th´ eor` eme (0.7) contient ainsi la solution du probl` eme de Levi (´ equivalence de
la convexit´ e holomorphe et de la pseudoconvexit´ e), les th´ eor` emes d’annulation
de Kodaira-Serre, Kodaira-Akizuki-Nakano et de Kawamata-Viehweg pour les
vari´ et´ es alg´ ebriques projectives, de mˆ eme que le th´ eor` eme de plongement de
Kodaira caract´ erisant ces vari´ et´ es parmi les vari´ et´ es complexes compactes. Par
son caract` ere intrins` eque, l’´ enonc´ e “analytique” du th´ eor` eme de Nadel se r´ ev` ele
utile mˆ eme pour des applications purement alg´ ebriques (la version alg´ ebrique du
th´ eor` eme, connue sous le nom de th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg,
utilise la r´ esolution des singularit´ es et ne donne pas une description aussi nette du
faisceau multiplicateur I(h)). Dans un travail r´ ecent [Siu96], Y.T. Siu a montr´ e le
r´ esultat remarquable suivant, en utilisant seulement la formule de Riemann-Roch
et un argument de r´ ecurrence Noeth´ erienne pour les faisceaux multiplicateurs. La
technique est d´ ecrite au § 16 (avec quelques am´ eliorations mises au point dans
[Dem96]).
0.8. Th´ eor` eme ([Siu96], [Dem96]). Soit X une vari´ et´ e projective et L un fibr´ e en
droites ample (i.e. ` a courbure positive) sur X. Alors le fibr´ e K
⊗2
X ⊗ L
⊗m est tr` es
ample pour m m 0 (n) = 2 +
3n+1
n
, o` u n = dim X.
L’importance d’avoir une borne effective pour l’entier m 0 (n) est qu’on peut
ainsi obtenir des plongements de la vari´ et´ e X dans l’espace projectif, avec un
contrˆ ole pr´ ecis du degr´ e du plongement. Il r´ esulte de l` a une d´ emonstration assez
J.-P. Demailly, Th´ eorie de Hodge L 2 et th´ eor` emes d’annulation
Une observation importante est que le th´ eor` eme ci-dessus reste encore valable
lorsque la m´ etrique h de E pr´ esente des singularit´ es. La m´ etrique h est alors donn´ ee
dans chaque carte par un poids e
−2ϕ associ´ e ` a une fonction ϕ plurisousharmonique
(par d´ efinition ϕ est psh si la matrice des d´ eriv´ ees secondes (∂
2 ϕ/∂z j ∂z k ), calcul´ ee
au sens des distributions, est semi-positive en tout point). Compte tenu du
Th´ eor` eme (0.6), il est naturel d’introduire le faisceau d’id´ eaux multiplicateur
I(h) = I(ϕ), constitu´ e des germes de fonctions holomorphes f ∈ O X,x telles que
V
|f |
2 e
−2ϕ converge dans un voisinage V de x assez petit. Un r´ esultat r´ ecent de
A. Nadel [Nad89] garantit que I(ϕ) est toujours un faisceau analytique coh´ erent,
quelles que soient les singularit´ es de ϕ. Dans ce contexte, on d´ eduit de (0.6) la
version qualitative suivante, concernant la cohomologie `
a valeurs dans le faisceau
coh´ erent O(K X ⊗ E) ⊗ I(h) (K X = Λ
n T
⋆
X ´ etant le fibr´ e canonique de X).
0.7. Th´ eor` eme d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω)
une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibr´ e en droites
holomorphe sur X muni d’une m´ etrique hermitienne h singuli` ere de poids ϕ.
Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que la courbure
satisfasse l’in´ egalit´ e i Θ h (E) εω au sens des courants. Alors
H
q
X, O(K X ⊗ E) ⊗ I(h)
= 0
pour tout q 1.
En d´ epit de la relative simplicit´ e des techniques mises en jeu, il s’agit l` a
d’un th´ eor` eme extrˆ emement puissant, qui contient ` a lui seul une bonne partie
des r´ esultats les plus fondamentaux de la g´ eom´ etrie analytique ou alg´ ebrique. Le
th´ eor` eme (0.7) contient ainsi la solution du probl` eme de Levi (´ equivalence de
la convexit´ e holomorphe et de la pseudoconvexit´ e), les th´ eor` emes d’annulation
de Kodaira-Serre, Kodaira-Akizuki-Nakano et de Kawamata-Viehweg pour les
vari´ et´ es alg´ ebriques projectives, de mˆ eme que le th´ eor` eme de plongement de
Kodaira caract´ erisant ces vari´ et´ es parmi les vari´ et´ es complexes compactes. Par
son caract` ere intrins` eque, l’´ enonc´ e “analytique” du th´ eor` eme de Nadel se r´ ev` ele
utile mˆ eme pour des applications purement alg´ ebriques (la version alg´ ebrique du
th´ eor` eme, connue sous le nom de th´ eor` eme d’annulation de Kawamata-Viehweg,
utilise la r´ esolution des singularit´ es et ne donne pas une description aussi nette du
faisceau multiplicateur I(h)). Dans un travail r´ ecent [Siu96], Y.T. Siu a montr´ e le
r´ esultat remarquable suivant, en utilisant seulement la formule de Riemann-Roch
et un argument de r´ ecurrence Noeth´ erienne pour les faisceaux multiplicateurs. La
technique est d´ ecrite au § 16 (avec quelques am´ eliorations mises au point dans
[Dem96]).
0.8. Th´ eor` eme ([Siu96], [Dem96]). Soit X une vari´ et´ e projective et L un fibr´ e en
droites ample (i.e. ` a courbure positive) sur X. Alors le fibr´ e K
⊗2
X ⊗ L
⊗m est tr` es
ample pour m m 0 (n) = 2 +
3n+1
n
, o` u n = dim X.
L’importance d’avoir une borne effective pour l’entier m 0 (n) est qu’on peut
ainsi obtenir des plongements de la vari´ et´ e X dans l’espace projectif, avec un
contrˆ ole pr´ ecis du degr´ e du plongement. Il r´ esulte de l` a une d´ emonstration assez