0. Introduction
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Ces r´ esultats permettent de d´ ecrire de fa¸ con pr´ ecise la structure du groupe de
Picard Pic(X) = H
1 (X, O
⋆ ) dans le cas k¨ ahl´ erien. Dans un contexte plus g´ en´ eral,
nous explicitons la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (suite spectrale reliant la
cohomologie de Dolbeault ` a la cohomologie de De Rham), et nous montrons
comment on peut utiliser cette suite spectrale pour obtenir quelques r´ esultats
g´ en´ eraux sur les nombres de Hodge h
p,q des vari´ et´ es complexes compactes. Finalement, nous ´ etablissons la semi-continuit´ e des dimensions des groupes de cohomologie H
q (X t , E t ) sur les fibres d’une fibration holomorphe propre et lisse
X → S (r´ esultat dˆ u ` a Kodaira-Spencer), et nous en d´ eduisons que les nombres
de Hodge h
p,q (X t ) sont constants si les fibres X t sont k¨ ahl´ eriennes (invariance
des h
p,q par d´ eformations) ; le caract` ere holomorphe de la filtration de Hodge
F
p H
k (X t , C) =
rp H
r,k−r (X t , C) relativement ` a la connexion de Gauss-Manin
est d´ emontr´ e au moyen du th´ eor` eme de coh´ erence des images directes, appliqu´ e
au complexe de De Rham relatif Ω
•
X/S de X → S.
Dans la seconde partie, apr` es quelques rappels sur les notions de positivit´ e
et pseudoconvexit´ e mises en jeu, nous ´ etablissons l’identit´ e de Bochner-KodairaNakano reliant les Laplaciens ∆
′
E et ∆
′′
E . L’identit´ e en question fournit une
expression explicite de la diff´ erence ∆
′′
E − ∆
′
E en termes de la courbure Θ(E)
du fibr´ e. Sous des hypoth` eses ad´ equates (faible pseudoconvexit´ e de X, positivit´ e
de la courbure de E), on aboutit ` a une estimation a priori
D
′′
E u
2 + D
′′⋆
E u
2
X
λ(z)|u|
2 dV (z)
o` u λ est une fonction positive d´ ependant des valeurs propres de courbure.
L’in´ egalit´ e est ici valide pour toute forme u de bidegr´ e (n, q), n = dim X, q 1,
` a valeurs dans E, appartenant aux domaines hilbertiens u de D
′′
E et D
′′⋆
E . Par un
argument de dualit´ e hilbertien, on d´ eduit de l` a le th´ eor` eme fondamental suivant,
dˆ u essentiellement ` a H¨ ormander [H¨ or65] et Andreotti-Vesentini [AV65].
0.6. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites hermitien et soient
γ 1 (x) · · · γ n (x)
les valeurs propres de la forme de courbure i Θ(E) par rapport ` a la m´ etrique ω
en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ 1 0 partout.
Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′
E g = 0 et
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω < +∞,
il existe f ∈ L
2 (X, Λ
n,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′
E f = g et
X
|f |
2 dV ω
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω .
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Ces r´ esultats permettent de d´ ecrire de fa¸ con pr´ ecise la structure du groupe de
Picard Pic(X) = H
1 (X, O
⋆ ) dans le cas k¨ ahl´ erien. Dans un contexte plus g´ en´ eral,
nous explicitons la suite spectrale de Hodge-Fr¨ olicher (suite spectrale reliant la
cohomologie de Dolbeault ` a la cohomologie de De Rham), et nous montrons
comment on peut utiliser cette suite spectrale pour obtenir quelques r´ esultats
g´ en´ eraux sur les nombres de Hodge h
p,q des vari´ et´ es complexes compactes. Finalement, nous ´ etablissons la semi-continuit´ e des dimensions des groupes de cohomologie H
q (X t , E t ) sur les fibres d’une fibration holomorphe propre et lisse
X → S (r´ esultat dˆ u ` a Kodaira-Spencer), et nous en d´ eduisons que les nombres
de Hodge h
p,q (X t ) sont constants si les fibres X t sont k¨ ahl´ eriennes (invariance
des h
p,q par d´ eformations) ; le caract` ere holomorphe de la filtration de Hodge
F
p H
k (X t , C) =
rp H
r,k−r (X t , C) relativement ` a la connexion de Gauss-Manin
est d´ emontr´ e au moyen du th´ eor` eme de coh´ erence des images directes, appliqu´ e
au complexe de De Rham relatif Ω
•
X/S de X → S.
Dans la seconde partie, apr` es quelques rappels sur les notions de positivit´ e
et pseudoconvexit´ e mises en jeu, nous ´ etablissons l’identit´ e de Bochner-KodairaNakano reliant les Laplaciens ∆
′
E et ∆
′′
E . L’identit´ e en question fournit une
expression explicite de la diff´ erence ∆
′′
E − ∆
′
E en termes de la courbure Θ(E)
du fibr´ e. Sous des hypoth` eses ad´ equates (faible pseudoconvexit´ e de X, positivit´ e
de la courbure de E), on aboutit ` a une estimation a priori
D
′′
E u
2 + D
′′⋆
E u
2
X
λ(z)|u|
2 dV (z)
o` u λ est une fonction positive d´ ependant des valeurs propres de courbure.
L’in´ egalit´ e est ici valide pour toute forme u de bidegr´ e (n, q), n = dim X, q 1,
` a valeurs dans E, appartenant aux domaines hilbertiens u de D
′′
E et D
′′⋆
E . Par un
argument de dualit´ e hilbertien, on d´ eduit de l` a le th´ eor` eme fondamental suivant,
dˆ u essentiellement ` a H¨ ormander [H¨ or65] et Andreotti-Vesentini [AV65].
0.6. Th´ eor` eme. Soit (X, ω) une vari´ et´ e k¨ ahl´ erienne, dim X = n. Supposons que
X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibr´ e en droites hermitien et soient
γ 1 (x) · · · γ n (x)
les valeurs propres de la forme de courbure i Θ(E) par rapport ` a la m´ etrique ω
en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ 1 0 partout.
Alors pour toute forme g ∈ L
2 (X, Λ
n,q T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′
E g = 0 et
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω < +∞,
il existe f ∈ L
2 (X, Λ
n,q−1 T
⋆
X ⊗ E) telle que
D
′′
E f = g et
X
|f |
2 dV ω
X
(γ 1 + · · · + γ q )
−1 |g|
2 dV ω .