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J.-P. Demailly, Th´ eorie de Hodge L 2 et th´ eor` emes d’annulation
de la th´ eorie de Hodge est que toute classe de cohomologie contient un unique
repr´ esentant harmonique d` es lors que X est compacte. Il en r´ esulte alors un
isomorphisme, dit isomorphisme de Hodge
(0.1)
H
q
DR (X, E) ≃ H
q
DR (X, E).
Lorsque la vari´ et´ e X et le fibr´ e E sont holomorphes, il existe une connexion unique
D E appel´ ee connexion de Chern, compatible avec la m´ etrique hermitienne de E
et ayant les propri´ et´ es suivantes : D E se scinde en la somme D E = D
′
E + D
′′
E
d’une connexion D
′
E de type (1, 0) et d’une connexion D
′′
E de type (0, 1), telles
que D
′2
E = D
′′2
E = 0 et D
′
E D
′′
E + D
′′
E D
′
E = Θ(E) (tenseur de courbure de Chern
du fibr´ e). L’op´ erateur D
′′
E agissant sur les formes de bidegr´ e (p, q) d´ efinit alors
pour p fix´ e un complexe appel´ e complexe de Dolbeault. Lorsque X est compacte,
les groupes de cohomologie de Dolbeault H
p,q (X, E) satisfont un isomorphisme de
Hodge analogue ` a (0.1), ` a savoir
(0.2)
H
p,q (X, E) ≃ H
p,q (X, E),
o` u H
p,q (X, E) d´ esigne l’espace des (p, q)-formes harmoniques ` a valeurs dans E,
relativement au Laplacien anti-holomorphe ∆
′′
E = D
′′
E D
′′⋆
E + D
′′⋆
E D
′′
E . En utilisant
ce dernier r´ esultat, on d´ emontre facilement le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre
(0.3)
H
p,q (X, E)
⋆ ≃ H
n−p,n−q (X, E
⋆ ),
n = dim C X,
qui est le pendant complexe du th´ eor` eme de dualit´ e de Poincar´ e. Le th´ eor` eme
central de la th´ eorie de Hodge concerne les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes :
une vari´ et´ e hermitienne (X, ω) est dite k¨ ahl´ erienne si la (1, 1)-forme hermitienne
ω = i
j,k ω jk dz j ∧ dz k est telle que dω = 0. Un exemple fondamental de vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte est donn´ e par les vari´ et´ es alg´ ebriques projectives. Si X est
k¨ ahl´ erienne compacte et si E est un syst` eme local de coefficients sur X, le th´ eor` eme
de d´ ecomposition de Hodge affirme que
H
k
DR (X, E) =
p+q=k
H
p,q (X, E)
(d´ ecomposition de Hodge)
(0.4)
H p,q (X, E) ≃ H
q,p (X, E
⋆ ),
(sym´ etrie de Hodge).
(0.5)
Le caract` ere intrins` eque de la d´ ecomposition sera d´ emontr´ e ici de mani` ere quelque
peu originale, via l’utilisation des groupes de cohomologie de Bott-Chern (groupes
de ∂∂-cohomologie). Il d´ ecoule de ces r´ esultats que les nombres de Hodge h
p,q =
dim C H
p,q (X, C) v´ erifient la propri´ et´ e de sym´ etrie h
p,q = h
q,p = h
n−p,n−q =
h
n−q,n−p , et qu’ils sont li´ es aux nombres de Betti b k = dim C H
k
DR (X, C) par
la relation b k =
p+q=k h
p,q . Un certain nombre d’autres propri´ et´ es cohomologiques remarquables des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes s’obtient au moyen
de la d´ ecomposition primitive et du th´ eor` eme de Lefschetz difficile (lequel r´ esulte
` a son tour de l’existence d’une action de sl(2, C) sur les formes harmoniques).
J.-P. Demailly, Th´ eorie de Hodge L 2 et th´ eor` emes d’annulation
de la th´ eorie de Hodge est que toute classe de cohomologie contient un unique
repr´ esentant harmonique d` es lors que X est compacte. Il en r´ esulte alors un
isomorphisme, dit isomorphisme de Hodge
(0.1)
H
q
DR (X, E) ≃ H
q
DR (X, E).
Lorsque la vari´ et´ e X et le fibr´ e E sont holomorphes, il existe une connexion unique
D E appel´ ee connexion de Chern, compatible avec la m´ etrique hermitienne de E
et ayant les propri´ et´ es suivantes : D E se scinde en la somme D E = D
′
E + D
′′
E
d’une connexion D
′
E de type (1, 0) et d’une connexion D
′′
E de type (0, 1), telles
que D
′2
E = D
′′2
E = 0 et D
′
E D
′′
E + D
′′
E D
′
E = Θ(E) (tenseur de courbure de Chern
du fibr´ e). L’op´ erateur D
′′
E agissant sur les formes de bidegr´ e (p, q) d´ efinit alors
pour p fix´ e un complexe appel´ e complexe de Dolbeault. Lorsque X est compacte,
les groupes de cohomologie de Dolbeault H
p,q (X, E) satisfont un isomorphisme de
Hodge analogue ` a (0.1), ` a savoir
(0.2)
H
p,q (X, E) ≃ H
p,q (X, E),
o` u H
p,q (X, E) d´ esigne l’espace des (p, q)-formes harmoniques ` a valeurs dans E,
relativement au Laplacien anti-holomorphe ∆
′′
E = D
′′
E D
′′⋆
E + D
′′⋆
E D
′′
E . En utilisant
ce dernier r´ esultat, on d´ emontre facilement le th´ eor` eme de dualit´ e de Serre
(0.3)
H
p,q (X, E)
⋆ ≃ H
n−p,n−q (X, E
⋆ ),
n = dim C X,
qui est le pendant complexe du th´ eor` eme de dualit´ e de Poincar´ e. Le th´ eor` eme
central de la th´ eorie de Hodge concerne les vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes :
une vari´ et´ e hermitienne (X, ω) est dite k¨ ahl´ erienne si la (1, 1)-forme hermitienne
ω = i
j,k ω jk dz j ∧ dz k est telle que dω = 0. Un exemple fondamental de vari´ et´ e
k¨ ahl´ erienne compacte est donn´ e par les vari´ et´ es alg´ ebriques projectives. Si X est
k¨ ahl´ erienne compacte et si E est un syst` eme local de coefficients sur X, le th´ eor` eme
de d´ ecomposition de Hodge affirme que
H
k
DR (X, E) =
p+q=k
H
p,q (X, E)
(d´ ecomposition de Hodge)
(0.4)
H p,q (X, E) ≃ H
q,p (X, E
⋆ ),
(sym´ etrie de Hodge).
(0.5)
Le caract` ere intrins` eque de la d´ ecomposition sera d´ emontr´ e ici de mani` ere quelque
peu originale, via l’utilisation des groupes de cohomologie de Bott-Chern (groupes
de ∂∂-cohomologie). Il d´ ecoule de ces r´ esultats que les nombres de Hodge h
p,q =
dim C H
p,q (X, C) v´ erifient la propri´ et´ e de sym´ etrie h
p,q = h
q,p = h
n−p,n−q =
h
n−q,n−p , et qu’ils sont li´ es aux nombres de Betti b k = dim C H
k
DR (X, C) par
la relation b k =
p+q=k h
p,q . Un certain nombre d’autres propri´ et´ es cohomologiques remarquables des vari´ et´ es k¨ ahl´ eriennes compactes s’obtient au moyen
de la d´ ecomposition primitive et du th´ eor` eme de Lefschetz difficile (lequel r´ esulte
` a son tour de l’existence d’une action de sl(2, C) sur les formes harmoniques).