Th´ eorie de Hodge L
2
et
Th´ eor` emes d’annulation
Jean-Pierre Demailly
Universit´ e de Grenoble I
Institut Fourier, BP 74
38402 Saint-Martin d’H` eres, France
0. Introduction
L’objet de ces notes est de d´ ecrire deux applications fondamentales des
techniques hilbertiennes L
2 ` a la g´ eom´ etrie analytique ou alg´ ebrique : la th´ eorie
de Hodge d’une part, la th´ eorie des estimations L
2 pour l’op´ erateur ∂ d’autre
part. Le point de vue adopt´ e ici sera essentiellement analytique.
La premi` ere partie est consacr´ ee ` a la th´ eorie de Hodge et se veut avant tout
introductive. Le lecteur ne trouvera donc ici que les aspects les plus ´ el´ ementaires,
dus pour la plupart ` a W.V.D. Hodge lui-mˆ eme [Hod41] ou ` a A. Weil [Wei57].
La th´ eorie de Hodge, dans le sens premier con¸ cu par son cr´ eateur, consiste en
l’´ etude de la cohomologie des vari´ et´ es riemanniennes ou k¨ ahl´ eriennes, ` a partir d’une
description des formes harmoniques et de leurs propri´ et´ es. Nous renvoyons aux
textes de J. Bertin-Ch. Peters [BePe95] et L. Illusie [Ill95] pour une pr´ esentation
d’aspects et d’applications plus avanc´ es (variations de structures de Hodge,
application des p´ eriodes, th´ eorie de Hodge en caract´ eristique > 0 . . .). Consid´ erons
une vari´ et´ e riemannienne X et un fibr´ e euclidien ou hermitien E sur X. On suppose
que E est muni d’une connexion D compatible avec la m´ etrique : une connexion est
par d´ efinition un op´ erateur de d´ erivation analogue ` a la diff´ erentiation ext´ erieure,
agissant sur les formes de degr´ e quelconque ` a valeurs dans E, et satisfaisant la r` egle
de Leibniz pour le produit ext´ erieur. L’op´ erateur de Laplace-Beltrami associ´ e est
l’op´ erateur diff´ erentiel autoadjoint du second ordre ∆ E = D E D
⋆
E + D
⋆
E D E , o` u
D
⋆
E est l’adjoint hilbertien de D E . On v´ erifie ais´ ement que ∆ E est un op´ erateur
elliptique. Le th´ eor` eme de finitude pour les op´ erateurs elliptiques montre alors que
l’espace H
q (X, E) des q-formes harmoniques ` a valeurs dans E est de dimension
finie si X est compacte (on dit qu’une forme u est harmonique si ∆ E u = 0).
Si on suppose de plus que la connexion est telle que D
2
E = 0, l’op´ erateur D E
agissant sur les formes de tous degr´ es d´ efinit un complexe appel´ e complexe de De
Rham ` a valeurs dans le syst` eme local de coefficients d´ efini par E. Les groupes de
cohomologie correspondants seront not´ es H
q
DR (X, E). L’observation fondamentale
2
et
Th´ eor` emes d’annulation
Jean-Pierre Demailly
Universit´ e de Grenoble I
Institut Fourier, BP 74
38402 Saint-Martin d’H` eres, France
0. Introduction
L’objet de ces notes est de d´ ecrire deux applications fondamentales des
techniques hilbertiennes L
2 ` a la g´ eom´ etrie analytique ou alg´ ebrique : la th´ eorie
de Hodge d’une part, la th´ eorie des estimations L
2 pour l’op´ erateur ∂ d’autre
part. Le point de vue adopt´ e ici sera essentiellement analytique.
La premi` ere partie est consacr´ ee ` a la th´ eorie de Hodge et se veut avant tout
introductive. Le lecteur ne trouvera donc ici que les aspects les plus ´ el´ ementaires,
dus pour la plupart ` a W.V.D. Hodge lui-mˆ eme [Hod41] ou ` a A. Weil [Wei57].
La th´ eorie de Hodge, dans le sens premier con¸ cu par son cr´ eateur, consiste en
l’´ etude de la cohomologie des vari´ et´ es riemanniennes ou k¨ ahl´ eriennes, ` a partir d’une
description des formes harmoniques et de leurs propri´ et´ es. Nous renvoyons aux
textes de J. Bertin-Ch. Peters [BePe95] et L. Illusie [Ill95] pour une pr´ esentation
d’aspects et d’applications plus avanc´ es (variations de structures de Hodge,
application des p´ eriodes, th´ eorie de Hodge en caract´ eristique > 0 . . .). Consid´ erons
une vari´ et´ e riemannienne X et un fibr´ e euclidien ou hermitien E sur X. On suppose
que E est muni d’une connexion D compatible avec la m´ etrique : une connexion est
par d´ efinition un op´ erateur de d´ erivation analogue ` a la diff´ erentiation ext´ erieure,
agissant sur les formes de degr´ e quelconque ` a valeurs dans E, et satisfaisant la r` egle
de Leibniz pour le produit ext´ erieur. L’op´ erateur de Laplace-Beltrami associ´ e est
l’op´ erateur diff´ erentiel autoadjoint du second ordre ∆ E = D E D
⋆
E + D
⋆
E D E , o` u
D
⋆
E est l’adjoint hilbertien de D E . On v´ erifie ais´ ement que ∆ E est un op´ erateur
elliptique. Le th´ eor` eme de finitude pour les op´ erateurs elliptiques montre alors que
l’espace H
q (X, E) des q-formes harmoniques ` a valeurs dans E est de dimension
finie si X est compacte (on dit qu’une forme u est harmonique si ∆ E u = 0).
Si on suppose de plus que la connexion est telle que D
2
E = 0, l’op´ erateur D E
agissant sur les formes de tous degr´ es d´ efinit un complexe appel´ e complexe de De
Rham ` a valeurs dans le syst` eme local de coefficients d´ efini par E. Les groupes de
cohomologie correspondants seront not´ es H
q
DR (X, E). L’observation fondamentale