Thèmes de réflexion
1. Montrer que l’application X → S n+1 définie par x λ i → σ λ i si λ i ∈ {λ 1 , . . . , λ n }
et x λ → 1 si λ /
∈ {λ 1 , . . . , λ n } induit un morphisme de groupes ϕ : G → S n+1 .
2. On pose H x = Ker(ϕ). Montrer que x /
∈ H x et que le groupe G/H x est fini.
3. En déduire qu’un groupe libre est résiduellement fini.
4. Déduire de ce qui précède que si G est un groupe libre, l’intersection de tous
ses sous-groupes d’indice fini est réduite à l’élément neutre.
Un groupe libre étant infini, le sous-groupe réduit à l’élément neutre ne peut
être d’indice fini. Comparer alors le résultat ci-dessus et la proposition (II.1.3).
5. Montrer que si un groupe G est résiduellement-P, il est isomorphe à un sousgroupe d’un produit direct de groupes possédant la propriété P.
6. En déduire qu’un groupe libre est isomorphe à un sous-groupe d’un produit
direct de groupes finis.
♠ TR.III.D. Produit libre de groupes
Soit (G i ) i∈I une famille de groupes. Nous allons construire un nouveau groupe,
noté
i∈I G i , muni de morphismes naturels de groupes λ i : G i →
i∈I G i et
montrer que ce groupe et ces morphismes constituent une solution du problème
universel de somme de groupes évoqué à la remarque (I.3.4).
Pour faciliter la compréhension de cette construction, nous allons d’abord
étudier le cas où card(I) = 2.
Soient G et G deux groupes. On pose X = G ∪ G et on appelle mot sur X
toute suite finie g 1 . . . g n , où n ∈ N et g i appartient à G ou à G , pour tout i,
1 i n. Le mot correspondant à la partie vide de X sera noté 1 et on note
M(X ) l’ensemble des mots sur X.
Deux mots g 1 . . . g n et h 1 . . . h p sont égaux si n = p et g i = h i pour tout i,
1 i n.
Deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 . . . g n et g 1 . . . g i−1 g i+1 . . . g n
sont élémentairement équivalents si g i est l’élément neutre du groupe auquel
il appartient, de même que deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 g i+2 . . . g n et g 1 . . . g i−1 h i g i+2 . . . g n
tels que g i et g i+1 sont dans le même groupe et que g i g i+1 = h i .
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