Algèbre T1
Beaucoup d’exemples de groupes que nous avons vus dans ce chapitre sont
engendrés par un nombre fini d’éléments. Ce sont des groupes de type fini.
Un groupe présenté par générateurs et relations, G = X|R, est dit de présentation finie si les ensembles X et R sont finis.
Pour toute présentation finie d’un groupe G, G = X|R, on introduit le
nombre suivant, qui est lié à la présentation donnée,
d(X, R) = card(X) − card(R).
On remarquera que cet entier, qui appartient à Z, dépend de la présentation
donnée de G et on sait qu’elle n’est pas unique. Par exemple, pour les deux présentations du groupe cyclique d’ordre 6 données à l’exercice III.3, on a d(X, R) = 0
pour la première et d(X, R) = −1 pour la seconde. Ce nombre d(X, R) devient
optimal lorsqu’on a éliminé de X et R tous les éléments redondants. Néanmoins,
bien que non intrinsèquement lié au groupe G, il permet d’étudier certaines propriétés des groupes de présentation finie.
Soit G un groupe admettant une présentation finie G = X|R telle que
d(X, R) > 0. On note X = {x 1 , . . . , x p } et R = {r 1 , . . . , r q }, p > q.
1. En posant a ij l’exposant de x i dans r j , montrer que le système de q équations
à p inconnues
p
i=1
a ij T i = O
admet une solution non triviale {b 1 , . . . , b p } avec b j ∈ Z , 1 j p.
2. Montrer que l’application X → Z, définie par x i → b i , induit un morphisme
de groupes f : G → Z.
3. En déduire que si X|R est une présentation finie d’un groupe G telle que
d(X, R) > 0, alors le groupe G est infini.
♠ TR.III.C. Quelques propriétés des groupes libres
Soit P une propriété. On dit qu’un groupe G est résiduellement-P si, pour
tout élément x = 1 de G, il existe un sous-groupe normal H x de G, x /
∈ H x , tel
que le groupe G/H x possède la propriété P.
Soit G un groupe libre de base X = {x λ } λ∈Λ .
Considérons un élément x = 1 de G, écrit sous la forme x = x
1
λ 1
. . . x
n
λn , avec
i = 1, n 1, les λ i n’étant pas tous nécessairement distincts.
Pour tout λ i ∈ {λ 1 , . . . , λ n }, on note σ λ i la transposition (i, i + 1), considérée
comme élément de S n+1 .
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Beaucoup d’exemples de groupes que nous avons vus dans ce chapitre sont
engendrés par un nombre fini d’éléments. Ce sont des groupes de type fini.
Un groupe présenté par générateurs et relations, G = X|R, est dit de présentation finie si les ensembles X et R sont finis.
Pour toute présentation finie d’un groupe G, G = X|R, on introduit le
nombre suivant, qui est lié à la présentation donnée,
d(X, R) = card(X) − card(R).
On remarquera que cet entier, qui appartient à Z, dépend de la présentation
donnée de G et on sait qu’elle n’est pas unique. Par exemple, pour les deux présentations du groupe cyclique d’ordre 6 données à l’exercice III.3, on a d(X, R) = 0
pour la première et d(X, R) = −1 pour la seconde. Ce nombre d(X, R) devient
optimal lorsqu’on a éliminé de X et R tous les éléments redondants. Néanmoins,
bien que non intrinsèquement lié au groupe G, il permet d’étudier certaines propriétés des groupes de présentation finie.
Soit G un groupe admettant une présentation finie G = X|R telle que
d(X, R) > 0. On note X = {x 1 , . . . , x p } et R = {r 1 , . . . , r q }, p > q.
1. En posant a ij l’exposant de x i dans r j , montrer que le système de q équations
à p inconnues
p
i=1
a ij T i = O
admet une solution non triviale {b 1 , . . . , b p } avec b j ∈ Z , 1 j p.
2. Montrer que l’application X → Z, définie par x i → b i , induit un morphisme
de groupes f : G → Z.
3. En déduire que si X|R est une présentation finie d’un groupe G telle que
d(X, R) > 0, alors le groupe G est infini.
♠ TR.III.C. Quelques propriétés des groupes libres
Soit P une propriété. On dit qu’un groupe G est résiduellement-P si, pour
tout élément x = 1 de G, il existe un sous-groupe normal H x de G, x /
∈ H x , tel
que le groupe G/H x possède la propriété P.
Soit G un groupe libre de base X = {x λ } λ∈Λ .
Considérons un élément x = 1 de G, écrit sous la forme x = x
1
λ 1
. . . x
n
λn , avec
i = 1, n 1, les λ i n’étant pas tous nécessairement distincts.
Pour tout λ i ∈ {λ 1 , . . . , λ n }, on note σ λ i la transposition (i, i + 1), considérée
comme élément de S n+1 .
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