THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.III.A. Présentation du groupe quaternionique H
Le but de cet exercice est de montrer que {a, b}|a 4 , a 2 b −2 , b −1 aba est une
présentation du groupe quaternionique H (cf. exercice II.2 de la première partie).
La méthode proposée ici n’est pas la plus simple, mais a l’avantage d’utiliser
l’intéressant résultat suivant :
Lemme. Soient G un groupe engendré par une partie S et H un sous-groupe
normal de G. Le groupe G/H est engendré par les classes Hs, pour s parcourant S.
1. Démontrer ce lemme.
Notons G le groupe {a, b}|a 4 , a 2 b −2 , b −1 aba et posons
A =
0 1
−1 0
, B =
0 i
i 0
.
2. Montrer que a → A et b → B définit un morphisme ϕ : G → H et qu’il est
surjectif.
On note H le sous-groupe de G engendré par a, H = a.
3. Montrer que H est un sous-groupe normal de G.
4. Montrer que |G/H| = 2. (Utiliser le lemme.)
5. En déduire que |G| = 8 et que le groupe G est isomorphe au groupe H.
♠ TR.III.B. Groupes de présentation finie
Le théorème (III.1.4) montre que tout groupe admet une présentation par
générateurs et relations. Cependant, si l’ensemble de générateurs est infini, l’étude
du groupe n’est pas toujours facilitée par cette présentation.