Algèbre T1
Deux mots a et b de M(X ) sont équivalents s’il existe une suite finie de mots
u 1 , . . . , u n tels que a = u 1 et b = u n , avec u i élémentairement équivalent à u i+1
pour 1 i n − 1.
1. Montrer que ceci définit une relation d’équivalence R sur M(X ).
Soient a = g 1 . . . g n et b = h 1 . . . h p deux mots. On définit leur produit par
ab = g 1 . . . g n h 1 . . . h p
et pour tout mot c on pose c1 = 1c = c.
2. Montrer que la relation d’équivalence R définie sur M(X ) est compatible au
produit.
On note [a] la classe d’un mot a de M(X ) dans l’ensemble quotient M(X )/R.
3. Montrer que l’ensemble quotient M(X )/R muni du produit défini par
[a][b] = [ab] est un groupe, dont l’élément neutre est [1].
On procède maintenant à une « réduction » des mots de la façon suivante :
dans un mot a = g 1 . . . g n , si des g i consécutifs sont dans le même groupe G ou G
on les remplace par leur produit dans ce groupe et on supprime tous les termes
égaux aux éléments neutres de G et G . On note r(a) le mot auquel on arrive ainsi
et on l’appelle mot réduit.
On note G
G l’ensemble des mots réduits.
4. Montrer que chaque classe d’équivalence de mots de M(X ) contient un et un
seul mot réduit.
5. Montrer que G
G muni du produit r(a)r(b) = r(ab) est un groupe.
On appelle ce groupe le produit libre des groupes G et G .
6. Montrer que dans G
G tout élément a une écriture unique g 1 g
1 g 2 g
2 . . . g n g
n
avec, pour tout i, 1 i n, g i ∈ G et g
i ∈ G , chacun des termes de cette écriture
étant différent des éléments neutres de G et G .
Cas général
On pose X = ∪ i∈I G i et on suppose que l’ensemble I est ordonné afin d’éviter
les doubles indices. On appelle mot sur X toute suite finie g 1 . . . g n , où n ∈ N et g i
appartient à un certain groupe G j pour tout i, 1 i n. Le mot correspondant
à la partie vide de X sera noté 1 et on note M(X ) l’ensemble des mots sur X.
Deux mots g 1 . . . g n et h 1 . . . h p sont égaux si n = p et g i = h i pour tout i,
1 i n.
Deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 . . . g n et g 1 . . . g i−1 g i+1 . . . g n
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Deux mots a et b de M(X ) sont équivalents s’il existe une suite finie de mots
u 1 , . . . , u n tels que a = u 1 et b = u n , avec u i élémentairement équivalent à u i+1
pour 1 i n − 1.
1. Montrer que ceci définit une relation d’équivalence R sur M(X ).
Soient a = g 1 . . . g n et b = h 1 . . . h p deux mots. On définit leur produit par
ab = g 1 . . . g n h 1 . . . h p
et pour tout mot c on pose c1 = 1c = c.
2. Montrer que la relation d’équivalence R définie sur M(X ) est compatible au
produit.
On note [a] la classe d’un mot a de M(X ) dans l’ensemble quotient M(X )/R.
3. Montrer que l’ensemble quotient M(X )/R muni du produit défini par
[a][b] = [ab] est un groupe, dont l’élément neutre est [1].
On procède maintenant à une « réduction » des mots de la façon suivante :
dans un mot a = g 1 . . . g n , si des g i consécutifs sont dans le même groupe G ou G
on les remplace par leur produit dans ce groupe et on supprime tous les termes
égaux aux éléments neutres de G et G . On note r(a) le mot auquel on arrive ainsi
et on l’appelle mot réduit.
On note G
G l’ensemble des mots réduits.
4. Montrer que chaque classe d’équivalence de mots de M(X ) contient un et un
seul mot réduit.
5. Montrer que G
G muni du produit r(a)r(b) = r(ab) est un groupe.
On appelle ce groupe le produit libre des groupes G et G .
6. Montrer que dans G
G tout élément a une écriture unique g 1 g
1 g 2 g
2 . . . g n g
n
avec, pour tout i, 1 i n, g i ∈ G et g
i ∈ G , chacun des termes de cette écriture
étant différent des éléments neutres de G et G .
Cas général
On pose X = ∪ i∈I G i et on suppose que l’ensemble I est ordonné afin d’éviter
les doubles indices. On appelle mot sur X toute suite finie g 1 . . . g n , où n ∈ N et g i
appartient à un certain groupe G j pour tout i, 1 i n. Le mot correspondant
à la partie vide de X sera noté 1 et on note M(X ) l’ensemble des mots sur X.
Deux mots g 1 . . . g n et h 1 . . . h p sont égaux si n = p et g i = h i pour tout i,
1 i n.
Deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 . . . g n et g 1 . . . g i−1 g i+1 . . . g n
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