Thèmes de réflexion
sont élémentairement équivalents si g i est l’élément neutre du groupe auquel
il appartient, de même que deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 g i+2 . . . g n et g 1 . . . g i−1 h i g i+2 . . . g n
tels que g i et g i+1 sont dans le même groupe et que g i g i+1 = h i .
Deux mots a et b de M(X ) sont équivalents s’il existe une suite finie de mots
u 1 , . . . , u n tels que a = u 1 et b = u n , avec u i élémentairement équivalent à u i+1
pour 1 i n − 1.
7. Montrer que ceci définit une relation d’équivalence R sur M(X ).
Soient a = g 1 . . . g n et b = h 1 . . . h p deux mots. On définit leur produit par
ab = g 1 . . . g n h 1 . . . h p
et, pour tout mot c, on pose c1 = 1c = c.
8. Montrer que la relation d’équivalence R définie sur M(X ) est compatible au
produit.
On note [a] la classe d’un mot a de M(X ) dans l’ensemble quotient M(X )/R.
9. Montrer que l’ensemble quotient M(X )/R muni du produit défini par
[a][b] = [ab] est un groupe dont l’élément neutre est [1].
Un mot a est dit réduit si a = 1 ou si a = g 1 . . . g n est tel que ∀i, 1 i n,
g i n’est pas égal à l’élément neutre du groupe auquel il appartient et g i et g i+1 ne
sont pas dans le même groupe G j , ∀i, 1 i n − 1.
Comme à la proposition III.1.1, à tout mot a on associe sa forme réduite r(a).
10. Montrer que chaque classe d’équivalence de mots de M(X ) contient un et un
seul mot réduit.
On note
i∈I G i l’ensemble des mots réduits.
11. Montrer que
i∈I G i muni du produit r(a)r(b) = r(ab) est un groupe.
On appelle ce groupe le produit libre des groupes (G i ) i∈I .
12. Montrer que dans
i∈I G i tout élément a a une écriture unique a = g 1 . . . g n ,
où n ∈ N, deux éléments consécutifs dans cette écriture n’appartenant pas au
même groupe G j et aucun d’entre eux n’étant égal à l’élément neutre du groupe
auquel il appartient, et a = 1 si n = 0.
13. Montrer que ∀i ∈ I l’application λ i : G i →
i∈I définie par λ i (g i ) = r(g i ) est
un morphisme (injectif) de groupes.
Nous allons maintenant montrer que (
i∈I G i , λ i ) est solution du problème
universel de somme des groupes (G I ) i∈I .
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sont élémentairement équivalents si g i est l’élément neutre du groupe auquel
il appartient, de même que deux mots
g 1 . . . g i−1 g i g i+1 g i+2 . . . g n et g 1 . . . g i−1 h i g i+2 . . . g n
tels que g i et g i+1 sont dans le même groupe et que g i g i+1 = h i .
Deux mots a et b de M(X ) sont équivalents s’il existe une suite finie de mots
u 1 , . . . , u n tels que a = u 1 et b = u n , avec u i élémentairement équivalent à u i+1
pour 1 i n − 1.
7. Montrer que ceci définit une relation d’équivalence R sur M(X ).
Soient a = g 1 . . . g n et b = h 1 . . . h p deux mots. On définit leur produit par
ab = g 1 . . . g n h 1 . . . h p
et, pour tout mot c, on pose c1 = 1c = c.
8. Montrer que la relation d’équivalence R définie sur M(X ) est compatible au
produit.
On note [a] la classe d’un mot a de M(X ) dans l’ensemble quotient M(X )/R.
9. Montrer que l’ensemble quotient M(X )/R muni du produit défini par
[a][b] = [ab] est un groupe dont l’élément neutre est [1].
Un mot a est dit réduit si a = 1 ou si a = g 1 . . . g n est tel que ∀i, 1 i n,
g i n’est pas égal à l’élément neutre du groupe auquel il appartient et g i et g i+1 ne
sont pas dans le même groupe G j , ∀i, 1 i n − 1.
Comme à la proposition III.1.1, à tout mot a on associe sa forme réduite r(a).
10. Montrer que chaque classe d’équivalence de mots de M(X ) contient un et un
seul mot réduit.
On note
i∈I G i l’ensemble des mots réduits.
11. Montrer que
i∈I G i muni du produit r(a)r(b) = r(ab) est un groupe.
On appelle ce groupe le produit libre des groupes (G i ) i∈I .
12. Montrer que dans
i∈I G i tout élément a a une écriture unique a = g 1 . . . g n ,
où n ∈ N, deux éléments consécutifs dans cette écriture n’appartenant pas au
même groupe G j et aucun d’entre eux n’étant égal à l’élément neutre du groupe
auquel il appartient, et a = 1 si n = 0.
13. Montrer que ∀i ∈ I l’application λ i : G i →
i∈I définie par λ i (g i ) = r(g i ) est
un morphisme (injectif) de groupes.
Nous allons maintenant montrer que (
i∈I G i , λ i ) est solution du problème
universel de somme des groupes (G I ) i∈I .
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