Chapitre III. Présentation d’un groupe par générateurs et relations
b) En déduire que le groupe G contient un sous-groupe qui est libre de rang
infini dénombrable. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un sous-groupe de G
de rang n.
III.2. Générateurs et relations
Définition III.2.1. Si S est une partie d’un groupe G, le sous-groupe normal
de G engendré par S, qu’on notera (S), est l’intersection de tous les sousgroupes normaux de G contenant S. Si S = ∅, on pose (S) = {1}, où 1 est
élément neutre de G.
En général, si G est un groupe engendré par une famille X = {x i } i∈I , les
générateurs x i sont liés par des relations.
Exemple III.2.1. Si G = x est cyclique d’ordre n, le générateur x vérifie la relation
x n = 1.
Une relation liant les générateurs x i , i ∈ I, peut s’écrire sous la forme r = 1,
où r est un élément du groupe libre L(X).
Définition III.2.2. Soit G un groupe engendré par un ensemble d’éléments X = {x i } i∈I , ces éléments vérifiant un ensemble de relations
R = {r k = 1 G } k∈K . On dit que X|R est une présentation de G par générateurs et relations si G est isomorphe au groupe L(X)/(R), où (R) est le
sous-groupe normal du groupe libre L(X), engendré par les {r k } k∈K .
Exemples III.2.2.
a) Pour tout ensemble X, X|∅∅ est une présentation du groupe libre L(X).
b) x|x n est une présentation du groupe cyclique d’ordre n.
Exercice III.2. Soient X un ensemble et Y ⊂ X un sous-ensemble de X. Montrer
que X|Y est une présentation du groupe libre de base {X} \ {Y }. (La propriété universelle de groupe libre permet de construire un morphisme de groupes
L(X \ Y ) → →X|Y et on montre que c’est un isomorphisme.)
Remarque III.2.1. Lorsqu’on donne une présentation d’un groupe G par générateurs et relations, G = X|R, il est utile de supprimer des ensembles X et R les
éléments qui sont clairement redondants.
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b) En déduire que le groupe G contient un sous-groupe qui est libre de rang
infini dénombrable. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un sous-groupe de G
de rang n.
III.2. Générateurs et relations
Définition III.2.1. Si S est une partie d’un groupe G, le sous-groupe normal
de G engendré par S, qu’on notera (S), est l’intersection de tous les sousgroupes normaux de G contenant S. Si S = ∅, on pose (S) = {1}, où 1 est
élément neutre de G.
En général, si G est un groupe engendré par une famille X = {x i } i∈I , les
générateurs x i sont liés par des relations.
Exemple III.2.1. Si G = x est cyclique d’ordre n, le générateur x vérifie la relation
x n = 1.
Une relation liant les générateurs x i , i ∈ I, peut s’écrire sous la forme r = 1,
où r est un élément du groupe libre L(X).
Définition III.2.2. Soit G un groupe engendré par un ensemble d’éléments X = {x i } i∈I , ces éléments vérifiant un ensemble de relations
R = {r k = 1 G } k∈K . On dit que X|R est une présentation de G par générateurs et relations si G est isomorphe au groupe L(X)/(R), où (R) est le
sous-groupe normal du groupe libre L(X), engendré par les {r k } k∈K .
Exemples III.2.2.
a) Pour tout ensemble X, X|∅∅ est une présentation du groupe libre L(X).
b) x|x n est une présentation du groupe cyclique d’ordre n.
Exercice III.2. Soient X un ensemble et Y ⊂ X un sous-ensemble de X. Montrer
que X|Y est une présentation du groupe libre de base {X} \ {Y }. (La propriété universelle de groupe libre permet de construire un morphisme de groupes
L(X \ Y ) → →X|Y et on montre que c’est un isomorphisme.)
Remarque III.2.1. Lorsqu’on donne une présentation d’un groupe G par générateurs et relations, G = X|R, il est utile de supprimer des ensembles X et R les
éléments qui sont clairement redondants.
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